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Teorema de la Envolvente


Introducción.

Para adquirir una idea intuitiva acerca de la utilidad del Teorema de la Envolvente, vamos a comenzar viendo la aplicación del Teorema al ya conocidoproblema de la maximización de la utilidad del consumidor.

Así, suponemos que un individuo tiene una función de utilidad U(x,y) y enfrenta Px, Py e I (precio del bien x, precio del bien e ingreso,respectivamente).

Entonces, planteamos y resolvemos el problema, tal cual lo hacemos usualmente:



Max U(x,y) sa Px.x + Py.y = I

1


x*(Px, Py, I)
y*(Px, Py, I)2


V(Px, Py, I) = U(x*(Px, Py, I), y*(Px, Py, I))


Presentación del teorema en forma más general.

El citado teorema debe su popularidad a que, justamente, puede aplicarse a una granvariedad de problemas (además del visto en el punto anterior). Es por esto, que ahora lo plantearemos de forma más general, para luego sí poder utilizarlo en diferentes situaciones.

El problema deoptimización ahora será:


Max z= f (x, y; ) sa G (x ,y; ) = 0


Para aclarar este planteo, procederemos a definir cada una de las variables utilizadas y entre paréntesis diremosa que corresponde en el ejercicio de la maximización de la utilidad del consumidor visto en la introducción de este apunte. Así:

z: es la variable que maximizamos (nivel de utilidad)
f: es lafunción objetivo ( U(x,y) )
x e y: son las variables de elección (cantidad de bienes x e y consumidos)
G: es la restricción tal cual la reexpresamos para colocarla en el lagrangiano
: es una variableexógena (podría ser Px, Py o I)

Es decir, que tenemos nuevamente una función objetivo la cual maximizamos. En esta nueva formulación, la función objetivo, además de depender de las variables deelección, también depende de una variable exógena  (recordemos que para algunos problemas, como el visto en la introducción, podría z no depender de , pero la colocamos porque estamos planteando el...