Clasificacion transformaciones ortogonales

CLASSIFICACIÓ DE LES TRANSFORMACIONS ORTOGONALS DEL PLA
Sigui f ∈ End ( ¡ 2 ) una transformació ortogonal del pla, aleshores f només pot ser :
1. Un gir d’angle α centrat a l’origen decoordenades , que denotarem per gα .
2. Una simetria axial amb eix de simetria una recta r que passa per l’origen , que denotarem per Sr .
Propietats i elements característics dels girs
1.Els girs conserven l’orientació.
2. Si A és la matriu de gα en una base qualsevol ⇒ det( A) = + 1 i traça ( A) = 2 cos α , on α és l’angle del gir.
 cos α
3. En una base ortonormalqualsevol { u1 , u2 } la matriu de gα és 
 sin α

− sin α 
, on α és l’angle entre u1 i gα ( u1 ) en sentit positiu. Aleshores :
cos α 


a) Si α = 0º ⇒ gα = Id i tots els vectors de ¡ 2són vectors propis de valor propi + 1 .
b) Si α = 180º ⇒ gα = − Id ⇒ gα és una simetria central i tots els vectors de ¡ 2 són vectors propis de valor propi − 1 .
c) Si α ≠ 0º ,180º ⇒ gα noté vectors propis de valor propi real.
Propietats i elements característics de les simetries axials
2

1. Les simetries no conserven l’orientació i S r = Id .
2. Si A és la matriu de Sren una base qualsevol ⇒ det( A) = − 1 i traça ( A) = 0 .
3. Sr té subespais E1 = Ker ( S r − Id ) i E− 1 = Ker ( S r + Id ) de dimensió 1 i ortogonals entre ells.

( )

α
4. L’eix desimetria és la recta que passa per l’origen amb vector director w ∈ E1 i d’equació y = tg α 2 x , on
és l’angle entre r i l’eix OX.
2
1 0 
5. En una base ortonormal { u1 ∈ E1 , u2 ∈ E−1} la matriu de Sr és 
.
 0 − 1
 1 0  T  cos α
6. En una base ortonormal qualsevol { v1 , v2 } , la matriu de Sr és P ⋅ 
 ⋅ P =  sin α
 0 -1


sin α 
, on P és lamatriu del canvi de base { u1 , u2 } → { v1 , v2 } .
− cos α 


7. Tota simetria axial és la composició de la simetria axial amb base ortonormal { u1 ∈ E1 , u2 ∈ E− 1} i el gir gα ....