Clasificación De Matrices

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

a) Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal con cero Ejemplos:

1 2 A  0 4 

1 2 4 B  0 5 3    0 0 9   

b) Matriz triangular inferior: Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los componentes que se encuentranarriba de la diagonal principal son cero, Ejemplos:

1 0  A   2 4

1 0 0  B   2 5 0   4 3 9  

c) Matriz diagonal. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero. Ejemplos:

1 0 A  0 4 

1 0 0 B  0 5 0    0 0 9   

d) Matriz escalar: Es una matriz diagonal, donde a11=a22=…=ann=k,Ejemplos:

2 0 A  0 2

5 0 0  B  0 5 0    0 0 5   

e) Matriz identidad. Es una matriz escalar, con escalar igual a 1, es decir, tiene 1’s en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.

Ejemplos:

1 0 I2    0 1 

1 0 0 I 3  0 1 0    0 0 1   

Se denota por la letra I y el subíndice indica el orden. f) Matriz transpuesta. La matriztranspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz AT de tamaño nxm que se obtiene permutando la fila a columna. Ejemplos:
 1 2 3 A=    4 5 6

1 4 A =  2 5    3 6  
T

g) Matriz simétrica. Una matriz simétrica es simétrica si cumple con A= AT Ejemplos:
1 3 A   3 0  1 3 AT    3 0 

 2  1 0 B    1 3 4   0 4 5    1 4 3 C   2 1 1    2 8 0 

 2  1 0 B    1 3 4   0 4 5  
T

 1 4 3 C   2 1 1 La matriz C no es simétrica    2 8 0  
T

h) Matríz antisimétrica. Una matriz es antisimétrica, cuando cumple con A= -AT
 0  3  1  4 3 0 2  5   B 1  2 0 6    4 5  6 0   0  3  1  4 3 0 2  5 T   B  1  2 0 6    4 5  6 0 

i) Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre uncuerpo “k”. Las potencias de A se definen como sigue: A2=AA, A3=A2A, …, An+1=AnA y A0=I Ejemplo: 1 2  2 3 Sea A    , calcular A y A 3  4  Solución
1 2  1 2   7  6 A2      3  4 3  4   9 22   7  6 1 2    11 38  A3        9 22  3  4  57  106

j) Matriz Periódica. Una matriz A se llama periódica, si k el menor número entero y positivo para elcual se cumple Ak+1=A, se dice que la matriz A tiene como periodo k. Ejemplo:

 1  2  6 A   3 2 9  , demostrar que A es una matriz de periodo 2.   2 0  3  
Solución: Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3, por lo tanto

 1  2  6  1  2  6   5  6  6 A2    3 2 9   3 2 9    9 10 9       2 0  3  2 0  3   4  4  3       5  6  6  1  2  6  1  2  6 3 A   9 10 9    3 2 9    3 2 9        4  4  3  2 0  3  2 0  3     
Como vemos de A3=A, entonces A es una matriz periódica, con periodo 2. k) Matriz nilpotente. También llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor número entero positivo para el cual Ap=0, entonces A es nilpotente de orden p.Ejemplo:

1 3 1  5 Demostrar que A   2 6  es una matriz nilpotente de orden 3.    2  1  3  
Solución: Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3, por lo que tenemos

1 3  1 1 3 1  5  5 A  2 6  2 6    2  1  3   2  1  3   
2

0 0 0 3 3 9     1  1  3    0 0 0  0 0 0    0 0 0  

0 0  1 1 3 0 3  5 A  3 9 2 6    1  1  3   2  1  3   
3

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3. l) Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2=A. Ejemplo:

 2  2  4 4  , demostrar que A es idempotente. Si a A    1 3    1  2  3  
Solución:

 2  2  4  2  2  4  2  2  4 A   1 3 4   1 3 4    1 3 4       1...