clave 101 3 M 1 00 2013

Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingenier´ıa
´ tica
Departamento de Matema
clave-101-1-M-00-2013

Curso:

Matem´atica B´asica 1

C´
odigo del Curso:

101

Semestre:

Primer Semestre 2013

Tipo de Examen:

Segundo Examen Parcial

Nombre de la persona
que resolvi´
o el examen:

Oscar Rolando Ram´ırez Mili´an

Catedr´
atico del Curso:

Ing. Mario de Le´on

12 de mayo de 2013

1.Enunciados

1.1.

Tema 1

Resuelva las siguientes ecuaciones:
(log2 (x))2 + 4 log2 (2x) = 1
9x − 4(3x ) + 3 = 0
Verifique la siguiente identidad:
(sin(α)+cos(α))2
sin2 (α)−cos2 (α)

1.2.

=

sin2 (α)−cos2 (α)
(sin(α)−cos(α))2

Tema 2

La vida media del Cesio 137 es de 30 a˜
nos y desaparece de acuerdo a un modelo exponencial natural.
Suponga que inicialmente se tiene una muestra de 30 gramos, apartir de ello, determine :
Una funci´
on para la masa que queda despu´es de t a˜
nos.
¿Cu´
ando quedar´
a de la muestra despu´es de 50 a˜
nos?
¿Despu´es de cu´
anto tiempo quedar´an solo 3 gramos de la muestra?

1.3.

Tema 3

Encuentre el per´ıodo T , amplitud A, desplazamiento de fase φ y graficar la siguiente funci´on:
h(x) = −3 cos(2x − π) − 2

1.4.

Tema 4

Para medir el ancho de un r´ıo d =|CD| donde |CD| es la altura del tri´angulo ABC que pasa por
C se han medido los ´
angulos tal que ∠ABC = 38,48o y ∠CAB = 62,38o ; desde los puntos A y B de una
orilla, distantes entre s´ı hay 180m ¿Qu´e ancho tiene el r´ıo?

1

C❍
☞ ❍❍a
❍
☞
❍B
✟
b☞
✟
✟
☞
✟
c
☞ ✟✟
A☞✟

1.5.

Tema 5

Use el teorema de funciones inversas para demostrar que las funciones f (x) y g(x) son funciones
inversas una de laotra, y trace las gr´
aficas de f (x) y g(x) en el mismo plano de coordenadas.

f (x) = x2 + 5, ∀x ≤ 0
y
√
g(x) = − x − 5

2

2.
2.1.

Solucionario
Tema 1
Inciso A
(log2 (x))2 + 4 log4 (2x) = 1
log (2x)
(log2 (x))2 + 4 2
=1
log2 (4)
log (2x)
(log2 (x))2 + 4 2
=1
2
(log2 (x))2 + 2 log2 (2x) = 1
2

(log2 (x)) + 2(log2 (2) + log2 (x)) = 1

(1)
(2)

(3)
(4)

2

(log2 (x)) + 2(1 + log2 (x)) = 1
(log2(x))2 + 2 + 2 log2 (x)) − 1 = 0
(log2 (x))2 + 2 log2 (x)) + 1 = 0
2

(5)

(log2 (x) − 1) = 0

(6)

log2 (x) = −1

(7)

x = 2−1
1
x=
2

(8)
(9)

Inciso B
9x − 4(3x ) + 3 = 0
2 x

(10)

x

(3 ) − 4(3 ) + 3 = 0

(11)

32x − 4(3x ) + 3 = 0

(12)

x 2

x

(13)

x

x

(3 ) − 4(3 ) + 3 = 0
(3 − 3)(3 − 1) = 0
3x = 3,
x = 1,

3

(14)

3x = 1

(15)

x=0

(16)

Inciso C
(sin(α) + cos(α))2
=
sin2 (α) − cos2(α)
(sin(α) + cos(α))2
=
sin2 (α) − cos2 (α)
(sin(α) + cos(α))(sin(α) + cos(α))
=
(sin(α) + cos(α))(sin(α) − cos(α))
sin(α) + cos(α)
=
sin(α) − cos(α)
sin(α) + cos(α)
∗1=
sin(α) − cos(α)

sin2 (α) − cos2 (α)
(sin(α) − cos(α))2
(sin(α) + cos(α))(sin(α) + cos(α))
(sin(α) + cos(α))(sin(α) − cos(α))
sin(α) + cos(α)
sin(α) − cos(α)
sin(α) + cos(α)
∗1
sin(α) − cos(α)
sin(α) + cos(α) sin(α) − cos(α)
∗sin(α) − cos(α) sin(α) − cos(α)

sin2 (α) − cos2 (α)
sin(α) + cos(α) sin(α) − cos(α)
∗
=
sin(α) − cos(α) sin(α) − cos(α)
(sin(α) − cos(α))2

2.2.

(17)

(18)
(19)

Tema 2

Sea m(t) la masa del Cesio en funci´
on del tiempo. Sea m0 = 30gr. la masa inicial. La vida media de
un elemento tm hace referencia al tiempo que dicho elemento se degrada a la mitad de su masa. Entonces
m(tm ) = m20 . Si se modelala masa del Cesio como una funci´on exponencial. Entonces
Inciso A: Deducci´
on del Modelo
m(t) = m0 ert

(20)

tm = 35 a˜
nos
m0
m(tm ) =
2
m(35) = m0 e(35 a˜nos)r
m0
= m0 e(35 a˜nos)r
2
1
= e(35 a˜nos)r
2
1
log = (35 a˜
nos)r
2
log( 12 )
=r
35 a˜
nos
−0,0198042
r≈
a˜
nos

(21)

(22)
(23)

Entonces el modelo quedar´ıa de la siguiente manera:
m(t) = (30e

−0,0198042
t
a˜
nos

)gr.

(24)

Inciso B:Para este inciso basta con valuar 50 a˜
nos en la funcion m lo cual
m(50) = 11,145gr
4

(25)

Inciso C: Basta con hallar la inversa de m(t) para encontrar el valor asociado a 3gr
3 = 30e−0,0198042t
3
= e−0,0198042t
30
1
log( ) = −0,0198042t
10
1
)
log( 10
=t
−0,0198042
t ≈ 116,267 a˜
nos

2.3.

(26)

(27)
(28)

Tema 3

La forma general de una onda senoidal es h(x) = A cos(ωx + φ) − D
Amplitud...