clave 107 1 M 2 00 2012

Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Curso:

Matemática Intermedia 1

Tipo de examen: Primer Parcial
Elaborado por

Edgar Salguero

Fecha

27/08/2012

Semestre:

Segundo

Horario de Examen: 9:00 – 10:50
Jornada:

Matutina

Reviso:

Inga. Vera Marroquín

Nombre de la clave:Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

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TEMARIO DIGITALIZADO
Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de
distintos sabores: vainilla, chocolate y fresa. El presupuesto destinado para esta compra es de 540
quetzales y el precio de cada helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6
quetzales el de fresa. Conocidos los gustosde los estudiantes, se sabe que el número de helados de
vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los de fresa.
a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la
semana.
b) Resuelve, mediante el método de Gauss. Concluya si tiene solución o es inconsistente el sistema.
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución delTema No.3 (10 puntos): Determinar el valor de m
sistema usando 𝑋 = 𝐴−1 𝑏. Determine la inversa de para que el sistema de ecuaciones:
dos formas:
i. Usando cofactores.
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 1
𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1
ii. Por el método de Gauss-Jordan (por
operaciones elementales o de equivalencia) Tenga:
a) Solución única.
b) Infinitas soluciones.
𝑥+𝑦=3
c) No tenga solución.
2𝑥 − 𝑦 = 5
Tema No.4 (10 puntos): Hallar eldeterminante de la siguiente matriz, utilizando propiedades y cofactores.
−2 4
2
1
0
2
1 −2
𝐴=
2
1 −2 4
1 −2 4
2
Tema No.5 (7 puntos): Encuentre la solución del sistema utilizando el método de Gauss. Expresar la
solución en forma matricial o vectorial.

X  3Y  Z  W  4
X  2Y  Z  W  8

Tema No.6 (50 puntos): Resolver las siguientes integrales planteadas.

a.

6𝑥 4 +2𝑥 3 +7𝑥 2 +2𝑥+3
𝑥 3 (𝑥 2+1)2

𝑑𝑥 Si se sabe que los valores de A, B, C, D, E, F & G son 1, 2, 3, -1, -2, 2 & 0

respectivamente, luego de realizar fracciones parciales. (14 puntos)

d.

2

𝑏.

𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥

e.

2+2𝑠𝑒𝑛 𝑥+cos 𝑥

𝑥−1 3

𝑐.

𝑥 2 −2𝑥

𝑑𝑥
3

4

𝑥− 𝑥

𝑥

𝑑𝑥

Clave-107-1-M-2-00-2012.docx

SOLUCIÓN
Tema No.1 (8 puntos): En una residencia de estudiantes se compran
semanalmente 110 helados de distintos sabores:vainilla, chocolate y fresa. El
presupuesto destinado para esta compra es de 540 quetzales y el precio de cada
helado es de 4 quetzales el de vainilla, 5 quetzales el de chocolate y 6 quetzales el
de fresa. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de
helados de vainilla menos en número de los de chocolate es igual a tres veces los
de fresa.
a) Plantear un sistema de ecuacioneslineales para calcular cuántos helados de
cada sabor se compran a la semana.
X= Numero de Helados de vainilla
y= Numero de Helados de chocolate
z= Numero de Helados de fresa
Planteando el sistema de ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 110
4𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 540
𝑥 − 𝑦 = 3𝑧
b) Resuelve, mediante el método de Gauss.
inconsistente el sistema.
1 1
1 110
1
𝑓2
−
4𝑓1
= 0
4 5
6 540
𝑓3
−
𝑓1
1 −1 −3 0
0
1 1 1 110
= 0 1 2 100
00 0 90

Concluya si tiene solución o es
1
1
−2

1 110
2 100
−4 −110 𝑓3 + 2𝑓2

El sistema es inconsistente
Tema No.2 (15 puntos): Encontrar la solución del sistema usando 𝑋 = 𝐴−1 𝑏.
Determine la inversa de dos formas:

Clave-107-1-M-2-00-2012.docx
𝑥+𝑦=3
2𝑥 − 𝑦 = 5
i.

Usando cofactores.
1
2

𝑐11 =
𝑐12 =
𝑐21 =
𝑐22 =

−1
−1
−1
−1

2
3
3
4

−1 = −1
2 = −2
1 = −1
1 = 1

𝑐=

−1
−1

1 3
−1 5
1 1
Sea A=2 −1

−2
1

𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴 =

𝑐𝑇 =
1
2

−1
−2

−1
= 𝐴𝑑𝑗 𝐴
1

1
= [1 ∗ −1 ] − [1 ∗ 2] = −3
−1

𝐶𝑂𝑀𝑂 𝐴−1 =

1
𝐶𝑇 =
𝐷𝑒𝑡

Multiplicamos y encontramos la matriz inversa
𝐴−1 =

ii.

1
1
−1
𝐶𝑇 =
∗
𝐷𝑒𝑡
−3 −2

1/3
−1
=
2/3
1

1/3
−1/3

Por el método de Gauss-Jordan (por operaciones elementales o de
equivalencia)
1
2

1 1
−1 0
1
0

0
1
1 𝑓2 − 2𝑓1 = 0
1 1
1 2/3

1
1
−3 −2

0
1
𝑓1 − 𝑓2 =
−1/3
0

1
1
0
𝑓2...