CLAVE8 MB2

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO

Matemática Básica 2

SEMESTRE

Segundo

CODIGO DEL CURSO

103

FECHA DE EXAMEN

24 de Septiembre de 2007

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIO EL EXAMEN

Javier Espinoza

NOMBRE DE LA PERSONA QUE
DIGITALIZO EL EXAMEN

David Estuardo Galindo Cruz

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA
AREA MATEMATICA BÁSICA 2
PRIMER EXÁMEN PARCIAL

Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en
el cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas
dentro del cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 80 minutos.
Problema 1:(20 puntos)
Calcule el límite en cadacaso utilizando propiedades de los límites.
a)

8  (2  x) 3
lim
x
x 0

b)

lim
x 0 

1  cos x
x

Problema 2: (15 puntos)
Determine el valor de las constantes a y b, tales que la función sea continua en
toda la recta rea. Luego determine si la función es derivable en toda la recta
real, si no lo es, diga en que punto no es derivable

si
x  1 
 2


f ( x)  ax  b si  1  x  3
 2si
x  3 


Problema 3 (15 puntos)
La figura muestra la grafica de una función f. Determine ¿en que intervalos la
funcion es continua? b) ¿en que puntos la funcion no es derivabe; ) c)La farica
de f ' '

Tema 4 (15puntos)
Utilice las reglas de la derivación para calcular la primera derivada, simplifique
la respuesta.
5

4

a)

f ( x)  (t 2  1) 2  (t 3  5) 3

b)

y

1
cos 2 sin 4 x 
2Problema 5: (15 puntos)
Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función f ( x)  4 x  x 2
y que pasa por el punto(9/2,0)

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RESOLUCION

PROBLEMA 1
Calcule el límite en cada caso utilizando propiedades de los límites.
8  (2  x) 3
lim
x
x 0

a)

b)

lim
x 0 

1  cos x
x

a)

8  (2  x) 3
2 3  (2  x)
como
 lim
lim
x
x
x 0
x0
a3  b 3  ( a  b )( a 2  2 ab  b 2 ) entonces

lim
x0

lim
x0

2 3  (2  x) 3
( 2  2  x )( 4  4  2 x  4  4 x  x 2 )
 lim

x
x
x0

 x (12  6 x  x 2 )
 lim (12  6 x  x 2 ) valuando tenemos
x
x0
- 12 - 6(0) - (0 2 )  12

b)

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lim
x0 

1  cos x
1  cos x
1  cos x
 lim
*

x
x
1  cos x
x 0

1  cos 2 x
sin 2 x


lim
lim
x 0  x 1  cos x
x 0  x 1  cos x

lim
x 0 

sin x
1
*
 aplicando L' Hoppital en
x
1  cos x

sin x
tenemos
lim
x
x 0 

d
sin x
cos x
dx
 lim
 1 entonces
lim
d

1
x 0 
x

0
x
dx


lim1
x 0 

1
1
1




1  cos x 
1  cos 0
2

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PROBLEMA 2
Determine el valorde las constantes a y b, tales que la función sea
continua en toda la recta rea. Luego determine si la función es derivable
en toda la recta real, si no lo es, diga en que punto no es derivable

si
x  1 
 2


f ( x)  ax  b si  1  x  3
 2
si
x  3 


Para que haya continuidad en un punto c, lim f ( x)  lim f ( x), entonces
x c 

lim f ( x)  lim
x  1

x  1

f ( x)

x c lim f ( x)  lim f ( x)
x  3

x 3 

lim 2  lim ax  b

lim ax  b  lim  2

2  a  b

3a  b  2

b  2a

3a  2  a  2

x  1

x  1

x 3

x 3

4a  4
a  1

y b 1

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PROBLEMA 3
La figura muestra la grafica de una función f. Determine ¿en que
intervalos la funcion es continua? b) ¿en que puntos lafuncion no es
derivabe; ) c)La farica de f ' '

a) La función es continua en [-1,3) u (3,  )
b) No es derivable en x=0 y en x=3 puesto que en esos valores la función
no esta definida
c) Grafica de f ‘

f(x) línea negra
f ‘(x) línea roja

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PROBLEMA 4
Utilice las reglas de la derivación para calcular la primera...