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PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales

SUBTEMA. COMBINACIÓN Y DEPENDENCIA LINEAL
Problema 1: Sea el conjunto A = u , v, w , donde u = ( 2,1) , v = ( 2, 4 ) y w = ( 5,4 ) . Representar al vector w como combinación lineal de los vectores u y v . SOLUCIÓN:
• Con la ecuacion de combinacion lineal: w = α1 u + α 2 v • Sustituyendo valores:

{

}

( 5, 4 ) = α1 (2,1) + α 2 ( 2, 4 ) ( 5, 4 ) = ( 2α1 , α1 ) + ( 2α 2 , 4α 2 ) ( 5, 4 ) = ( 2α1 + 2α 2 , α1 + 4α 2 )
• Igualando terminos: 2α1 + 2α 2 = 5 α1 + 4α 2 = 4
• Resolviendo el sistema de ecuacionesanterior matricialmente: ⎛2 2 ⎜ ⎝1 4 5⎞ ⎛ 1 4 ⎟→⎜ 4 ⎠ ⎝ 0 −6 4 ⎞ ⎛1 4 4 ⎞ ⎟→ ⎜ ⎟ −3 ⎠ ⎝ 0 1 1/ 2 ⎠ α2 = 1 2

α1 + 4α 2 = 4 → α1 = 4 − 2 → α1 = 2 • Por tanto: 1 w = 2u + v 2

Combinación lineal pedidaDIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

Profra. Norma Patricia López Acosta

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ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. EspaciosVectoriales Problema 2: Determinar si el siguiente conjunto de vectores de R3:
A = {( −1,0, 2 ) , ( 0, − 4, 2 ) , ( 2,0, − 4 )}

es linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN:
• Con la ecuacionde dependencia lineal: α u + βv + γ w = 0 • Sustituyendo valores: α ( −1,0, 2 ) + β ( 0, − 4, 2 ) + γ ( 2,0, − 4 ) = 0

( −α + 2γ, − 4β, 2α + 2β − 4γ ) = ( 0,0,0 )
• Igualando terminos: − α + 2γ = 0− 4β = 0 2α + 2β − 4γ = 0
• Resolviendo el sistema anterior matricialmente: ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 ⎞ ⎛ 1 0 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 4 0 ⎟ →⎜ 0 1 0 ⎟ → ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 2 2 − 4⎟ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ • De donde se obtiene: 0γ = 0 → β=0 α − 2γ = 0 → α = 2a γ = a∈R

• Los escalares α y γ son diferentes de cero, por tanto, el conjunto “A” es linealmente dependiente (es un conjunto generador).DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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Profra. Norma Patricia López Acosta

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