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CÁLCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE EL MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS
INTRODUCCIÓN

Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regióntridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giroparalelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

CÁLCULO DE VOLÚMENES
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CAPAS (CASCARONES CILÍNDRICOS)
Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricos porque utiliza capas cilíndricas.

Un cascarón cilíndrico es un sólido acotado por dos cilindros circulares rectosconcéntricos. Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el método de capas se utilizan las siguientes fórmulas:

1. Se considera el sólido de revolución obtenido al girar en torno del eje y, y la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen del sólido está dado por:

2. Una fórmula similar secumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir la región R en el primer cuadrante entre el eje y y la curva x= f(x), que queda entre y=c y y=d, gira en tono del eje x.

DIFERENCIA DE LA FÓRMULA DE CAPAS:
Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) en un intervalo [a, b] con a ≥ 0 . Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a y x=b. Entonces el volumen Vdel sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje y, está dado por:

Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas x= g(y) y x= f(y) para y=c y y=d. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje x, está dado por:

EJEMPLOS DE MÉTODO DE CORTEZAS Ó CAPAS CILÍNDRICAS:
Supongamos que se quiere rotar la región limitada por la curvay el eje alrededor del eje

Este método se basa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente figura:

El volumen de una corteza cilíndrica de radio exterior r2, radio interior r1 y altura está dado por:

que también se puede escribir como:

En el primer paréntesis de la expresión obtenida se tiene el radio medio de la corteza,denotado con r en la figura, es decir, que

Y en el segundo paréntesis de dicha expresión se tiene el grosor de la corteza, denotado en la figura con y que equivale a:

Luego entonces, tomando en consideración esto, el volumen de la corteza cilíndrica se puede escribir como:

Por lo que.

Sea f una función continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b] , donde 0 a<b. Y sea R laregión acotada por la gráfica de la función, el eje de las abscisas y las rectas de ecuaciones x-a y x-b, tal como se muestra en la figura siguiente:

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CEBOLLAS Y TRONCOS DE MADERA.
El método de cálculo integral que se explica en esta página, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertoscasos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Piénsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3...