CO5_MERO_DAVID

TEMA: “RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS, Y TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE Y CAUCHY”

RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
Con razones de cambio se refiere a la variación o comparación entre las mismascomponentes de cierta variable.
En cálculo se tiene las siguientes razones de cambió:
Si se tiene que la variable está en función de la variable , entonces decimos que
Si es un incremento de la variable ,entonces:
es el incremento de la variable .
es la razón de cambio promedio de la variable , a lo largo del intervalo limitado por .
es la razón de cambio instantánea de la variable con respectoa la variable .
Es decir, la derivada es la razón de cambio instantánea de con respecto a .

TEOREMA DE ROLLE
Sea f definida en [a,b], verificando:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
3. f(a) = f(b).
En estas condiciones existe al menos un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) en el que se anula la derivada primera: f´(x0) =0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.

Interpretación Geométrica

El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que latangente a la curva es horizontal.
Para ir de a a b, al ser la función continua, o bien va recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Demostración:
Una función f cualquiera tiene que cumplir una de lassiguientes condiciones:
 
f(x) = f(a) para todo x perteneciente al intervalo [a,b].
En este caso, f es constante y, por lo tanto, f ' (x) = 0 para todos los puntos, es decir, todo punto c del intervalosatisface que f ' (c) = 0.
f(x) > f(a) para algún x perteneciente a [a,b].

Como f es continua en dicho intervalo, f alcanza su máximo en ese intervalo (por el Teorema de Weierstrass). Al haber algún...