Cobordismo

El anillo de cobordismo de Thom
Juan Antonio P´rez y Maribel de Avila e Escuela de Matem´ticas de Primavera a Universidad Aut´noma de Zacatecas o 25 - 29 de abril de 2011

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´ Indice
1. Preliminares 2. Variedades 3. Variedades con frontera 4. Cirug´ ıa 5. Cobordismo 6. Variedades de dimensi´n 1 o 7. Los grupos Ω0 y Ω1 8. Complejos simpliciales 9. Gr´ficas y complejos duales a10.Clasificaci´n de superficies o 11.El teorema de Thom 12.Homolog´ extraordinaria ıa 3 7 9 12 13 17 19 20 23 25 30 34

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El cobordismo es b´sicamente una relaci´n de equivalencia entre variedaa o des compactas. Se dice que dos variedades son cobordantes si su uni´n ajena o es la frontera de una tercera variedad tambi´n compacta. Como veremos, la e frontera de una variedad de dimensi´n n + 1 es una variedadde dimensi´n o o n, y la frontera de una variedad con frontera es una variedad sin frontera, lo que permite la construcci´n de una bella teor´ de homolog´ o ıa ıa. El franc´s Henri Poincar´ [1854 - 1912], en su intento por obtener una clae e sificaci´n de los espacios topol´gicos, define el grupo fundamental, la homoo o log´ simplicial y el cobordismo [3]. El grupo fundamental se conoce tambi´n ıa ecomo el primer grupo de homotop´ a partir de que la construcci´n b´sica ıa, o a de Poincar´ es generalizada a dimensiones superiores. En tanto, la homolog´ e ıa simplicial fue llamada inicialmente topolog´ combinatoria. ıa El cobordismo fue rescatado por Lev Pontryagin [13] e introducido formalmente en la literatura cient´ ıfica. El cobordismo se convirti´ en una de o las llamadas teor´cohomol´gicas extraordinarias, junto con la K-teor´ ıas o ıa algebraica. Su enorme potencial se hizo pronto evidente, jugando un rol protag´nico en el desarrollo de la Topolog´ al inicio de la segunda mitad del siglo o ıa XX. Es entonces que aparece en resultados como el Teorema de HirzebruchReimann-Roch y el Teorema de Atiyah-Singer-Patodi. El poder´ del cobordismo se expresa en muchos resultados matem´tiıoa cos, como en el hecho consignado por Michael Atiyah [1], en el sentido de que una Teor´ Cu´ntica de Campos topol´gica no es sino un functor de la ıa a o categor´ de las n-variedades donde los morfismos son relaciones de coborıa dismo, en la categor´ de los espacios vectoriales, donde los morfismos son ıa transformaciones lineales. Las presentes notas constituyen una introducci´n a la Teor´ deCoboro ıa dismo no orientado, que, en realidad, no es m´s poderosa que la cohomolog´ a ıa con coeficientes en Z/2, pero que sin embargo, nos permite ver con claridad las construcciones b´sicas del cobordismo, as´ como apreciar los m´todos de a ı e la Topolog´ Algebraica. ıa

1.

Preliminares

Una separaci´n de un espacio topol´gico es un par (A, B) donde A y o o ıos o B son subespacios abiertos,ajenos y no vac´ cuya uni´n es el espacio X. N´tese que si ambos subespacios son abiertos, dado que son complementarios, o entonces son tambi´n ambos cerrados. Un espacio topol´gico es conexo si no e o 3

admite una separaci´n. Un espacio es localmente conexo si tiene una base de o abiertos conexos. Equivalentemente, un espacio X es conexo si los unicos abiertos que tam´ bi´n son cerrados sonlos triviales, es decir, son ∅ y X. Los intervalos son e conexos, hecho cuya demostraci´n se considera un ejercicio para el lector. o De hecho, los intervalos son el paradigma de una versi´n m´s estricta de la o a conexidad. En adelante I = [0, 1].

α

α(0)

α(1)

Una trayectoria sobre un espacio topol´gico X es una aplicaci´n continua o o α : I → X. Un espacio se dice trayectoconexo sidados dos puntos x0 , x1 ∈ X cualesquiera, existe una trayectoria α en X tal que α(0) = x0 y α(1) = x1 . Proposici´n 1. Todo espacio trayectoconexo es conexo. o Demostraci´n. Si X es trayectoconexo y (A, B) es una separaci´n de X, o o el´ ıjanse a ∈ A, b ∈ B, adem´s de una trayectoria α : I → X con α(0) = a y a −1 α(1) = b, entonces (α (A), α−1 (B)) es una separaci´n de I. o El rec´ ıproco se...