Codificacion de numeros naturales

2.3. Codificación de números naturales
El conjunto de datos más simple de codificar en binario para que lo manipule un procesador es el de los números naturales. La representación corresponde con los números en base 2. Los dos únicos dígitos de esta base coinciden con los dos valores que pueden manipular los circuitos digitales.
Dado un número binario con n dígitos, su equivalente en decimalse obtiene aplicando la ecuación 2.3:

Pero como los dígitos que pueden aparecer en un número binario son 0 o 1, la fórmula anterior se puede interpretar de una forma simplificada. Dado un número representado en base 2, su equivalente en decimal se obtiene sumando aquellas potencias de 2 cuyo exponente corresponde al lugar en el que se encuentra el dígito 1.
Considérese el número en binario1101011. Su equivalente en decimal se obtiene mediante la siguiente suma:

Por tanto, para manipular números codificados en base 2 y saber su equivalente en decimal es importante familiarizarse con los valores de las potencias de 2 que se muestran el la tabla 2.1

Potencias de 2
Bit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Peso 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215
Decimal 12 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768

La tabla 2.2 muestra ejemplos de cómo obtener la representación en decimal de números en binario de ocho bits.
Tabla 2.2. Conversión de binario a decimal
Peso 128 64 32 16 8 4 2 1 Total
Binario 0 0 1 0 0 1 1 1
Decimal 32 4 2 1 39

Binario 1 0 1 1 0 0 1 0
Decimal 128 32 16 2 178

Binario 1 1 0 11 0 0 1
Decimal 128 64 16 8 1 217

La conversión de un número en base 10 a binario se realiza siguiendo el procedimiento descrito en sección 2.2.1. En este caso, el divisor es 2 y el resto sólo puede ser 0 o 1 produciendo los dígitos de la representación en base 2. Por ejemplo, la representación binaria de 217 se obtiene tal y como muestra la ecuación 2.5
Ecuación 2.5. Traducción debase 10 a base 2


Los dígitos del número en base 2 se obtienen de menor a mayor peso, por tanto el resultado es 11011001 que corresponde con el contenido de la tabla 2.2.
La representación en base 2 tiene ciertas propiedades muy útiles para operar con estos números. Para saber si un número es par o impar basta con mirar el bit de menos peso. Si dicho bit es uno, el número es impar, si escero, el número es par. La demostración de esta propiedad es trivial. El equivalente en decimal de un número en binario se obtiene sumando potencias de 2. Todas estas potencias, a excepción de la primera (20) son pares. Por tanto, un número impar debe tener un uno en su bit de menos peso. De igual forma, todo número par debe tener un cero en su bit de menos peso, pues sólo puede constar depotencias de 2 pares.
La segunda propiedad no sólo aplica a la base 2, sino a cualquier base. Las operaciones de multiplicación y división entera por la base se realizan añadiendo un cero como dígito de menos peso o quitando el dígito de menos peso respectivamente.
Para los números en base 10, la operación de multiplicación por 10 se realiza añadiendo un cero como dígito de menos peso al número dado.Por ejemplo: 1345 * 10 = 13450. De igual forma, si un número decimal lo dividimos por diez, el cociente se obtiene ignorando el dígito de menos peso, que a su vez corresponde con el resto de la división. Siguiendo con el mismo ejemplo, 1345 dividido entre 10 produce un cociente de 134 y un resto de 5.
Volviendo a la representación binaria, en este caso, la multiplicación y división entera por 2corresponden de forma análoga con las operaciones de añadir un cero como dígito de menos peso o quitar el dígito de más peso. Por ejemplo, el número binario 100111 que en decimal representa el 39, si se multiplica por 2 se obtiene 1001110 que se puede comprobar que representa el 78 en decimal. Análogamente, si el mismo número se divide entre 2, su cociente es 10011 que representa el número 19, y...