Codificacion

CODIFICACIÓN
Es el proceso por el cual la información de una fuente es convertida en símbolos para ser comunicada. En otras palabras, es la aplicación de las reglas de un código.

El proceso contrario es la decodificación (o decoding), es decir, la conversión de esos símbolos a información que pueda ser entendida por el receptor.

HOMEOMORFISMOS
Un homeomorfismo es una función continua coninversa continua, esto es, una función que pasa biunívocamente abiertos en abiertos, y por tanto todas las propiedades topológicas de un espacio en otro (estas propiedades se tratan en los siguientes apartados).

¿Cómo demostrar que dos espacios son homeomorfos? Típicamente hallando un homeomorfismo explícito entre ellos. (Ej.: Tomando f(x)=tag(x/2), se tiene que (-1,1) y R son homeomorfos).¿Cómo demostrar que dos espacios no son homeomorfos? Basta hallar una propiedad topológica que tenga uno de ellos pero no el otro. Normalmente estas propiedades suelen ser la conexión (quizá suprimiendo puntos del conjunto), la compacidad y el grupo fundamental. Cuando estamos con topologías “raras” puede ser suficiente alguna propiedad más básica, como la propiedad de Hausdorff.

Ej.: El signo“—” no es homeomorfo al signo “” porque uno es conexo y el otro no.
Ej.: El signo “—” no es homeomorfo al signo “” porque si en éste último quitamos el punto central y en el “—” el punto correspondiente, uno tiene cuatro componentes conexas (abiertas) y el otro sólo dos.
Ej.: El plano y la superficie esférica no son homeomorfos porque el primero no es compacto y la segunda sí.
Ej.: El plano yel toro no son homeomorfos porque el primero es simplemente conexo y el otro no.
Ej.: R con la topología usual no es homeomorfo a R con la topología cofinita, porque ésta última no es Hausdorff.
Ej.: [0,1] no es homeomorfo al espacio X del ejercicio 3 de la Hoja 4, porque X no es conexo por caminos.

ISOMORFISMO
El concepto matemático de isomorfismo pretende capturar la idea de tener lamisma forma, la misma estructura.
Cuando en el siglo XX se ha precisado en matemáticas la noción intuitiva de estructura, siguiendo la concepción de Aristóteles de la materia y la forma, cada estructura es un conjunto X dotado de ciertas operaciones (como la suma o el producto), o de ciertas relaciones (como una ordenación) o ciertos subconjuntos (como en el caso de la topología), etc. En este casoel conjunto X es la materia y las operaciones, relaciones, etc. en él definidas son la forma.
El descubrimiento de Platón de que la forma es lo que importa se recoge en matemáticas con el concepto de isomorfismo. Una aplicación f:X-->Y entre dos conjuntos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada elemento de Y proviene de un único elemento de X y f transforma lasoperaciones, relaciones, etc. que tenemos en X en las que tenemos en Y. Cuando entre dos estructuras hay un isomorfismo, ambas son indistinguibles, tienen las mismas propiedades, y cualquier enunciado es simultáneamente cierto o falso. Por eso en Matemáticas las estructuras deben clasificarse salvo isomorfismos.
Por ejemplo, si X son los números reales positivos con el producto e Y son los númerosreales con la suma, el logaritmo ln:X-->Y es un isomorfismo, porque ln(ab)=ln(a)+ln(b) y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales, que suele ser más simple.

GRUPOCÍCLICO
En teoría de grupos, un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede expresar como na, para n entero.
En otras palabras, G es...