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CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Sea f (x) una funci´n definida para todo x, con periodo 2π. Entonces, bajo condiciones muy o generales, la serie de Fourier de f converge a f (x) para todo x. Describiremos un conjunto de condiciones que asegura dicha convergencia, estas se ilustran en la figura de abajo. Damos tambi´n algunas indicaciones acerca de por qu´ debe esperarse la convergencia. Lafunci´n f e e o es continua en cada intervalo de longitud 2π excepto en un n´mero finito de discontinuidades u de salto, donde el valor de f es el promedio de sus l´ ımites por la izquierda y por la derecha. Adem´s, en cada intervalo de longitud 2π, la funci´n f tiene una derivada continua, excepto en a o los puntos de salto y en un n´mero finito de esquinas. En los puntos de salto y en las esquinas uhay un valor l´ ımite para la derivada por la derecha y por la izquierda (sugerida por las l´ ıneas tangentes dibujadas). La funci´n f que satisfaga estas condiciones se llama una funci´n continua o o a trozos. As´ serie de Fourier de una funci´n f(x) continua a trozos, de periodo 2 ı,la o π converge a f(x) para todo x.

Convergencia uniforme. Para una funci´n como la anterior, es demasiadoesperar que la serie de Fourier de f converja o uniformemente cuando 0 ≤ x ≤ 2π, ya que la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas debe ser continua, mientras que la funci´n de la figura anterior, tiene o discontinuidades de salto. Sin embargo, si f no tiene discontinuidades de salto (aunque tenga ¡¡esquinas¿¿) entonces la convergencia debe ser uniforme. Adem´s, aun cuando af tenga salto, la convergencia es uniforme en cada intervalo cerrado a ≤ x ≤ b que no contenga puntos de salto.

Idea de la demostraci´n de la convergencia. Nos basamos en el concepto de la funci´n o o delta de Dirac δ(t). Esta funci´n surge al estudiar la densidad. Para la masa distribuida a lo o largo del eje x, habr´ una densidad ρ(x) tal que ıa
b

ρ(x)dx = masa entre a y b.
aSupongamos que la masa total es 1 y sigamos un proceso de l´ ımite, concentrando la masa m´s a y m´s cerca de x = 0. Entonces, la densidad correspondiente es como la figura de abajo. La a funci´n δ(x) se define como la densidad l´ o ımite cuando la masa tiende a concentrarse en el punto

1

x = 0. Como el total de masa es 1, para a < 0 < b debemos tener
b

δ(x)dx = 1.
a

Sin embargo, δ(x) = 0para todo x excepto 0 y δ(0) = +∞. Es posible fundamentar de manera razonable estas propiedades en cierto modo notables. Podemos pensar en δ(x) como la densidad de una part´ ıcula de masa unitaria en x = 0 o como el caso limite de la densidad ρ(x) cuando la amplitud del pulso tiende a 0. Para una part´ ıcula de masa unitaria en x0 , la densidad correspondiente es δ(x − x0 ). Para varias part´ ıculasde masa m1 , . . . , mn en x1 , . . . , xn , respectivamente, la densidad es m1 δ(x − x1 ) + . . . + mn δ(x − xn ).

Definici´n 1. Momentos de las distribuciones.- Llamamos k − esimo momento alrededor del o ´ origen a la integral
a b

xk ρ(x)dx.

En general, requerimos integrales del tipo
b

f (x)ρ(x)dx
a

con f continua.

Si ahora tenemos una solo part´ ıcula de unidad de masa enx0 , en el intervalo x0 −c < x < x0 +c, entonces ρ(x) = δ(x − x0 ) y el k-´simo momento alrededor de 0 es simplemente xk ; As´ e ı: 0
x0 +c x0 −c

xk δ(x − x0 )dx = xk . 0

An´logamente, para una funci´n continua f (x) en general y cada c > 0, tenemos a o
x0 +c

f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 )
x0 −c

o, si hacemos t = x − x0 ,

c

f (x0 + t)δ(t)dt = f (x0 ).
−c

2

Volvamos a lasseries de Fourier. Usemos el hecho de que la funci´n o 1 1 1 + cost + . . . + cosnt 2π π π puede considerarse que tiene a δ(t) como l´ ımite, para −π ≤ t ≤ π, cuando n → ∞. Pn (t) =
n−→∞

l´ Pn (t) = δ(t) ım
π

Podemos demostrar que
π n→∞

l´ ım

f (x + t)Pn (t)dt =
−π −π

f (x + t)δ(t)dt = f (x),

siempre que f sea continua en x y exista f (x). La n-´sima suma parcial de la serie...