Coeficiente de transferencia de calor

Introdución Los vectores, que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones concantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy. El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas lasáreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores. En este tema, estudiaremos los vectores en , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

Vectores

A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos se asocian con puntosde un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a y cada se asocia con un punto de coordenada en la recta horizontal (eje ) y la coordenada en la recta vertical (eje ).

Figura 1. Punto (a,b)

Analógamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tresrectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).

Figura 2. Punto (a,b,c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en y en . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Figura 3. Vector (a,b)

Figura 4. Vector(a,b,c)

Notación Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como , , . Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como , , . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como , , .

Si el punto inicial de un vector

es

y el punto final es

, entonces

El vector nulose denota con

Para las secciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores . Un vector en el es un ene-tuple en el componente i-ésima del vector. con cada .A se le llama

Operaciones Básicas Igualdad Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

Definición 1

Consideremos

los .

vectores Decimos . que si ysólo

y si

EJEMPLO 1

Sea

y

, entonces

.

Figura 5. Vectores distintos

Suma y resta La suma y resta se hace componente a componente

Definición 2

Consideremos

los .

vectores

y

EJEMPLO 2

Sea

y

, entonces

Figura 6. suma de vectores

[Ver en 3D]

Figura 6. resta de vectores

[Ver en 3D]

Multiplicación por un escalar Un escalamiento de unvector, por un factor por el mismo número real , se logra multiplicando cada componente

Definición 3

Consideremos el vector entonces

y el escalar

,

EJEMPLO 3

Sea

entonces

Figura 7. multiplicación por un escalar [Ver en 3D]

Propiedades de los vectores

TEOREMA 1

Consideremos el vector

y

entonces

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

EJEMPLO 4

Producto punto ynorma El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica de magnitud.

Definición 1

Consideremos

los

vectores . El producto punto (o escalar)

y se

define de la siguiente manera

EJEMPLO 1

i.) Sean

y

entonces

ii.) Sea

entonces

De aquí se deduce...