Coeficientes De Clebsch-Gordan

32. Clebsch-Gordan coefficients

183

32. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS
Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for −8/15 read − 8/15.
Notation:
m1 m2 m2
J
M

J
M

... ...

1/2× 1/2

1 0 +1 1 0 0 + 1/2 + 1/2 1 + 1/2 − 1/2 1/2 1/2 1 − 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1

Y10 =

3 cos θ 4π 3 sin θ eiφ 8π

2×1/2

− 1/2− 1/2 1

1 Y1 = − 0 Y2 =

5/2 + 5/2 5/2 3/2 1 3/2 + 3/2 + 2 1/2

m1

+ 2 − 1/2 1/5 4/5 5/2 3/2 + 1 + 1/2 4/5 − 1/5 + 1/2 + 1/2 + 1 − 1/2 0 + 1/2

. . .

. . .

Coefficients

1×1/2 + 3/2 3/2 1/2 3/2 1 + 1/2 + 1/2 + 1 + 1/2
+ 1 − 1/2 0 + 1/2
1/3 2/3 3/2 1/2 2/3 − 1/3 − 1/2 − 1/2 0 − 1/2 − 1 + 1/2 2/3 1/3 3/2 1/3 − 2/3 − 3/2

5 3 1 cos2 θ − 4π 2 2 15 sin θ cos θ eiφ 8π 15 sin2 θe2iφ 2π

2/5 3/5 5/2 3/2 3/5 − 2/5 − 1/2 − 1/2 0 − 1/2 − 1 + 1/2 3/5 2/5 5/2 3/2 2/5 − 3/5 − 3/2 − 3/2

Y21 = − Y22 1 = 4

3/2×1/2

2 2 +2 + 3/2 +1/2 1 + 1

1 +1 2 0

− 1 − 1/2 − 2 + 1/2
1 0

4/5 1/5 5/2 1/5 − 4/5 − 5/2

3 − 1 − 1/2 1 1 + 1/2 − 1/2 1/2 1/2 3/2×1 + 5/2 5/2 3/2 2 +3 3 2 5/2 − 1/2 + 1/2 1/2 − 1/2 − 1 − 1 +2 +1 1 +2 +2 + 3/2 + 1 1 + 3/2 + 3/2 2 + 2 0 1/3 2/3 1 3 − 1/2 −1/2 3/4 1/4 2 3/2 1/2 + 3/2 0 2/5 3/5 5/2 + 1 + 1 2/3 −1/3 +1 +1 +1 − 3/2 + 1/2 1/4 − 3/4 − 2 + 1/2 + 1 3/5 − 2/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 2 −1 1/15 1/3 3/5 − 3/2 − 1/2 1 2/5 1/2 + 3/2 − 1 1/10 2 1 3 + 1/2 0 3/5 1/15 − 1/3 5/2 3/2 1/2 1×1 + 2 2 1 + 1 + 0 8/15 − 1/6 − 3/10 0 2 0 0 0 1 6/15 1/2 1/10 − 1/2 + 1 3/10 − 8/15 1/6 − 1/2 − 1/2 − 1/2 +1 +1 1 +1 +1 + 1 − 1 1/5 1/2 3/10 + 1/2 − 1 3/10 8/15 1/6 0 +1 0 1/2 1/2 2 1 2 1 0 − 2/5 0 0 3/5 3 − 1/2 0 3/5 − 1/15 − 1/3 5/2 3/2 0 + 1 1/2 − 1/2 0 0 0 − 1 + 1 1/5 − 1/2 3/10 −1 −1 −1 − 3/2 + 1 1/10 − 2/5 1/2 − 3/2 − 3/2 − 1/2 − 1 3/5 2/5 5/2 0 − 1 6/15 1/2 1/10 + 1 − 1 1/6 1/2 1/3 − 3/2 0 2/5 − 3/5 − 5/2 2 − 1 0 8/15 − 1/6 − 3/10 3 0 − 1/3 2 0 0 2/3 1 − 2 + 1 1/15 − 1/3 3/5 − 2 − 2 − 1 + 1 1/6 − 1/2 1/3 − 1 − 1 − 3/2 − 1 1 − 1 − 1 2/3 1/3 3 0 − 1 1/2 1/22 −m m Y m∗ j1 j2 m1 m2 |j1 j2 JM Y = (−1) − 2 0 1/3 − 2/3 − 3 − 1 0 1/2 − 1/2 − 2 4π −1 −1 1 = (−1)J−j1 −j2 j2 j1 m2 m1 |j2 j1 JM d m,0 = Y m e−imφ − 2 − 1 1

2 ×1

+ 3/2 − 1/2 1/4 3/4 + 1/2 + 1/2 3/4 − 1/4

− 2 − 1/2

1

2 +1

3 θ 1 + cos θ 1/2 +3 3 d 1 = cos θ d 1/2,1/2 = cos d1 = 2 0,0 1,1 2 2 + 3/2 + 3/2 1 +2 +2 θ 1/2 2 ×3/2 + 7/2 7/2 5/2 3 2 1 + 3/2 + 1/2 1/2 1/2 1 = − sin θ √ d1/2,−1/2 = − sin d 1,0 7/2 + 1/2 + 3/2 1/2 − 1/2 + 1 + 1 +1 2 2 + 2 + 3/2 1 + 5/2 + 5/2 + 3/2 − 1/2 1/5 1/2 3/10 1 − cos θ 5/2 3/2 + 2 + 1/2 3/7 4/7 7/2 1 0 3 2 1 + 1/2 + 1/2 3/5 0 − 2/5 d 1,−1 = + 1 + 3/2 4/7 − 3/7 + 3/2 + 3/2 + 3/2 0 0 0 − 1/2 + 3/2 1/5 − 1/2 3/10 0 2 + 2 − 1/2 1/7 16/35 2/5 + 3/2 − 3/2 1/20 1/4 9/20 1/4 5/2 3/2 1/2 + 1 1/2 4/7 1/35 − 2/5 7/2 + 1/2 − 1/2 9/20 1/4 − 1/20 − 1/4 03/2 2/7 − 18/35 1/5 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 1 3 2 2 ×2 4 4 3 − 1/2 + 1/2 9/20 − 1/4 − 1/20 1/4 4 −1 − 3/2 + 3/2 1/20 − 1/4 9/20 − 1/4 − 1 − 1 + 2 − 3/2 1/35 6/35 2/5 2/5 +2 +2 1 +3 +3 0 − 3/10 + 1 − 1/2 12/35 5/14 + 1/2 − 3/2 1/5 1/2 3/10 3 2 + 2 + 1 1/2 1/2 4 0 1/2 18/35 − 3/35 − 1/5 5/2 3/2 1/2 1/5 7/2 0 − 2/5 − 1/2 − 1/2 3/5 2 3 + 1 + 2 1/2 − 1/2 + 2 +2 +2 − 1 3/2 4/35 − 27/70 2/5 − 1/10 − 1/2− 1/2 − 1/2 − 1/2 − 3/2 + 1/2 1/5 − 1/2 3/10 − 2 − 2 + 2 0 3/14 1/2 2/7 + 1 − 3/2 4/35 27/70 2/5 1/10 − 1/2 − 3/2 1/2 1/2 3 4 0 − 3/7 3 2 1 + 1 1 4/7 0 − 1/2 18/35 3/35 − 1/5 − 1/5 − 3/2 − 1/2 1/2 − 1/2 − 3 +1 +1 +1 +1 0 2 3/14 − 1/2 2/7 − 1 1/2 12/35 − 5/14 5/2 3/2 0 3/10 7/2 − 3/2 − 3/2 1 − 2 3/2 1/35 − 6/35 2/5 − 2/5 − 3/2 − 3/2 − 3/2 + 2 − 1 1/14 3/10 3/7 1/5 + 1 0 3/7 1/5 − 1/14 − 3/10 0 −3/2 2/7 18/35 1/5 0 1 3/7 − 1/5 − 1/14 3/10 1 0 4 3 2 − 1 − 1/2 4/7 − 1/35 − 2/5 7/2 5/2 0 0 0 − 1 2 1/14 − 3/10 3/7 − 1/5 0 0 − 2 1/2 1/7− 16/35 2/5 − 5/2 − 5/2 + 2 − 2 1/70 1/10 2/7 2/5 1/5 − 1 − 3/2 4/7 3/7 7/2 + 1 − 1 8/35 2/5 1/14 − 1/10 − 1/5 − 2 − 1/2 3/7 − 4/7 − 7/2 0 − 2/7 0 1/5 0 0 18/35 − 2 − 3/2 1 4 − 1 1 8/35 − 2/5 1/14 1/10 − 1/5 2 1 3 1 + cos θ θ − 2 2 1/70 − 1/10 2/7 − 2/5 1/5...