Coeficientes Indeterminados Enfoque De Superposición

[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE
SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2
Coeficientes Indeterminados - Enfoque de Superposición
Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea
se deben de llevar a cabo dos cosas:
a. Hallar la función complementaria
b. Encontrar cualquier solución particular y p de la ecuación no homogénea.
Recordemos que una solución particular escualquier función, libre de constantes
arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial idénticamente. La solución general
de una ecuación no homogénea en un intervalo es y  yc  y p .
El método de coeficientes indeterminados presentado no esta limitado a
ecuaciones de segundo orden, si se limita a ecuaciones lineales no homogéneas:


Que tengan coeficientes constantes, y



Donde g ( x) es unaconstante k , una función algebraica, una función
x

exponencial e

, sen x , cos  x , o sumas de productos finitos de estas

funciones.
Nota. Estrictamente hablando g ( x)  k (una constante) es una función algebraica.
Como probablemente una función constante no es en lo primero que se piensa
cuando nos referimos a funciones algebraicas por énfasis se continua usando la
redundancia “funcionesconstantes, polinomios,……”
Los siguientes son algunos ejemplos de este tipo de funciones de entrada g ( x)
que son apropiadas para este tema:


g ( x)  10



g ( x)  x 2  5 x



g ( x)  15x  6  8e4 x



g ( x)  sen3x  5x cos2 x



g ( x)  e x cos x   3x 2  1 e x

Y así sucesivamente. Esto es g ( x) es una combinación lineal de funciones del
tipo:

k (cons tan te), x n , x ne x ,x ne n cos  x y x ne n sen x , donde n es un

Ecuaciones Diferenciales

Página 1

[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE
SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2
entero no negativo y

 y  son números reales. El método de coeficientes

indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma:

ay " by ' cy  g ( x)

(1)

Cuando:


g ( x)  ln x



1
x
g ( x)  tan x



g ( x)  sen1x



g ( x) 

Yasí sucesivamente.
x

El conjunto de funciones consisten de constantes, polinomios, exponenciales e ,
senos y cosenos, tienen la propiedad de que las derivadas de sus sumas y
productos son nuevamente sumas y productos de constantes, polinomios,
x

exponenciales e
derivadas

, senos y cosenos. Puesto que la combinación lineal de las

ay " p  by ' p  cy p deben ser idénticamente igual a g ( x) .Esta

suposición puede caracterizarse
propuesta.

mejor como una conjetura o una adecuada

Se deben considerar los siguientes casos los cuales son fundamentales para la
aplicación de este método de solución.
Caso I
Ninguna función que se suponga como solución particular es una solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada.
En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos deg ( x) en (1)
junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da
por hecho, que ninguna función en la solución particular propuesta y p se duplica
con una función en la función complementaría yc .

Ecuaciones Diferenciales

Página 2

[COEFICIENTES INDETERMINADOS – ENFOQUE DE
SUPERPOSICIÓN] UNIDAD 2

Tabla 1. Propuesta de Soluciones particulares

g ( x)

Forma de yp

2. 5x  7

A
Ax  B

3. 3x  2

Ax 2  Bx  C

4. x  x  1

Ax3  Bx2  Cx  D
Acos4 x  Bsen4 x
A cos4 x  B cos4 x

1. 1 (cualquier constante)
2

3

5. sen4 x
6. cos4x
7. e
8.

5x

 9 x  2  e5 x

Ae5x

 Ax  B  e5x

2 5x

 Ax

3x

Ae3 x cos4 x  Be3 x sen4 x

9. x e

10. e sen4 x

2

 Bx  C  e5x

2

 Ax

3x

 Ax  B  e3 x cos4 x  Cx  D  e3 x sen4x

11. 5 x sen4 x
12. xe cos4x

2

 Bx  C  cos 4 x   Dx 2  Ex  F  sen4 x

Si g ( x) consiste de una suma, digamos, de m términos de la clase mostrada en
la tabla anterior, entonces la suposición de una solución particular y p consiste en
la suma de propuestas de la forma y p1 , y p 2 ,........ y pm correspondientes a esos
términos:

y p  y p1  y p 2  ......  y pm
Puesto de otra forma:
La forma de y p es una...