Coeficientes indeterminados

Coeficientes indeterminados
Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría
Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que
Podemos inferir dos cosas:
La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parteizquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.
La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.
Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma dela función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador.
Propiedades del operador anulador.
1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un operador lineal.
2. El operador anulador de una suma de funciones esla composición de los operadores anuladores.
3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando polinomios en D.
Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una EDO lineal homogénea, pero de orden mayor.
Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales, los coeficientes de laparte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes indeterminados).
Resumen coeficientes indeterminados.
El método de coeficientes indeterminados sólo es aplicable cuando la parte no homogénea de la EDO es una función del tipo:
Polinomio
Exponencial
Seno o Coseno
Combinaciones de ellas.o El operador anulador transforma la EDO lineal no homogénea en una EDO homogénea de orden mayor.
o El método del operador anulador nos sirve para determinar sólo la forma que debe tener la solución particular.
o Para determinar los coeficientes de la forma en la solución particular se sustituye la solución particular y nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales.
o Los coeficientesen la solución de la homogénea se determinan con los valores iniciales o con los valores en la frontera.
resolución por serie
Soluciones por medio de series
Planteamiento
En este capítulo nos aproximaremos a la resolución de ecuaciones de segundo orden lineales y homogéneas con coeficientes variables desde un estudio de series de potencias.
Se intenta atacar el siguiente tipo deecuaciones: edo2 lineales homogénas con coeficientes variables
A( x) y+B( x) y+C( x) y=0
Convenientemente reescribirles como
y+P( x) y+Q( x) y=0 (4.1)
Se llama función algebraica a cualquier y=y( x) que sea solución de una ecuación del tipo Pn( x) yn++P1( x) y+P0( x) = 0 (los coeficientes son polinomios en x ). El resto de las funciones elementales queda representado por las trigonométricas,hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas (funciones trascendentes, que no son solución de la ecuación planteada). Hay muchas otras funciones trascendentes, pero no se tratan en el Cálculo elemental. Las otras funciones trascendentes proceden de soluciones de ed, y a veces tienen gran interés. En Física Matemática se suele llamar funciones especiales a las soluciones de la edo2 ec.4.1.
El métodomás accesible en la práctica para calcular estas funciones especiales es trabajar con series de potencias.
Series de potencias
Esta sección debe oficiar de escueto recordatorio de los resultados principales relativos al las series de potencias.
Una serie de potencias es una expresión del tipo
f( x) = 

0 an( xx0) n
donde los an son números reales. La serie se dice ``centrada en el...