Coeficientes Indeterminados

Método de Coeficientes Indeterminados.
Este es un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, éste sólo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos.

En primer lugar este método se aplica a ecuaciones del tipo:
Donde las son constantesy es una función que se puede anular mediante la aplicación de un operador con coeficientes constantes. Así que, por ejemplo, no se puede emplear este método para resolver una ecuación de la forma (1), en el cual Como preparación para el método de coeficientes indeterminados, reescribimos (1) en notación operacional:

Por evidencia, hemos dividido este procedimiento en tres etapas.
Etapa I: Pararesolver la ecuación (2), comenzamos por encontrar un operador con coeficientes constantes que anule a (Si no existe dicho operador el método no se aplica). Se aplica el operador en ambos miembros de (2), obteniendo una ecuación lineal homogénea de orden más alto:

En la cual, el primer factor del operador es el anulador de 
Etapa II: Enseguida, se resuelve (3) mediante el método de ecuacionescon coeficientes constantes. La ecuación auxiliar ya se encuentra parcialmente factorizada, lo cual nos ahorra algo de trabajo:

Obtenemos la solución completa de (3):

Comparando (4) con la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (2), decidiremos, cuáles de los coeficientes son arbitrarios para la solución de (2). Los coeficientes restantes serán los coeficientesindeterminados.
Etapa III: Los términos de (4) que contienen los coeficientes indeterminados constituyen una solución de (2). Sustituimos la suma de estos términos en (2) para determinar los valores de los coeficientes indeterminados. Por último, se introducen estos valores en (4).
Ejemplo: La ecuación se resuelve de la siguiente forma:
En notación operacional, (5) se transforma en:

Se procede aanular el miembro derecho:

Completando la etapa I del proceso. A continuación, se resuelve (6) formando la ecuación auxiliar:

Y factorizando tenemos:

De las raíces y obtenemos la solución de (6)

en las que se reconocen los dos últimos términos como la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (5). Por tanto C y E son constantes arbitrarias para la solución de (5), lo cualdeja A y B como los coeficientes indeterminados. Ahora, la etapa II está completa.
En la etapa III se establece y diferenciamos dos veces:

Luego sustituimos estas funciones en (5):

Ordenando términos, este resultado se simplifica en:

Lo cual conduce a las dos ecuaciones:

Estas ecuaciones se satisfacen con los valores:

Por último, se introducen estos valores en (7) para formar lasolución completa de (5):

Variación de parámetros

Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea:

empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones:
o 
que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer ordenno separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente:

Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.
Para la ecuación, en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene:

Al calcular la siguientederivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstante, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4)...