Coeficientes indeterminados

Coeficientes indeterminados
■ Introducción Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
an˚y(n) + an – 1 y(n – 1) +... + a1 y´ + a0 y = g(x) (1)
debemos hacer dos cosas: i) encontrarla función complementaria Yc; ii) encontrar cualquier solución particular Yp de la ecuación no homogénea. Después, como se analizó en la sección 3.1, la solución general de (1) en un intervalo I es y= Yc + Yp.
La función complementaria Yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir,
an y(n) + an – 1 y(n – 1) + ... + a1 y´ + a0 y = 0.
En la sección previa vimos cómoresolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Por lo tanto, nuestro objetivo en esta sección es examinar un método para obtener soluciones particulares.
■ Método decoeficientes indeterminados. La primera de las dos formas que debemos considerar para obtener una solución particular Yp tiene el nombre de método de coeficientes indeterminados. En este método, la idea básicaes una conjetura (en realidad un supuesto razonable) acerca de la forma de Yp; esta conjetura es motivada por los tipos de funciones que componen la función de entrada g(x). El método general estálimitado a ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas como (1), donde
• Los coeficientes ai , i = 0, 1, ... , n son constantes, y
• Donde g(x) es una constante, una función polinomial, unafunción exponencial eax , las funciones coseno o seno sen x o cos x, o sumas y productos finitos de estas funciones.
En términos estrictos, g(x) = k (una constante) es una función polinomial. Dado que unafunción constante probablemente no sea la primera cosa que nos viene a la mente cuando pensamos en funciones polinomiales, con el fin de enfatizar, continuaremos usando la redundancia “funcionesconstantes, funciones polinomiales, …”.
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas g(x) apropiados para este análisis: g(x) = 10, g(x) = x2 – 5x, g(x) = 15x – 6 + 8e–x g(x)...