Cohete

ECUACION DEL COHETE
| Un cohete expulsa una fracción m de su combustible a intervalos de tiempos fijos (por ejemplo, cada segundo), con una velocidad u respecto del cohete. Este es un problema similar al de un patinador de masa M en una pista de hielo que arroja repetidamente bolas de masa m con velocidad constante u respecto del patinador. |
Supondremos que el cohete está en el espacioexterior y por tanto, no actúa ninguna fuerza exterior sobre el mismo. Para calcular la velocidad del cohete a medida que va expulsando el combustible aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

El cohete tiene una masa M que incluye la carga útil, el combustible y la masa del depósito que lo contiene. Supondremos que el cohete expulsa n fracciones de combustible de masa m aintervalos fijos de tiempo, es decir, en los instantes 0, t, 2·t...(n-1) ·t, alcanzando la velocidad en v1, v2, ....vn, tal como se muestra en la figura.

Velocidad del cohete
1. En el intervalo (0-t)
En el instante inicial t=0, expulsa una fracción m de combustible con una velocidad u respecto del cohete. El cohete pierde una masa m y adquiere una velocidad v1. Si el cohete estabainicialmente en reposo, su momento lineal es cero. Por tanto, la suma del momento lineal del cohete más el momento lineal del combustible expulsado debe dar cero.
| (M-m)v1+m(-u)=0 |

El cohete se moverá con velocidad constante v1 en el intervalo de tiempo 0-t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante –u.
2. En el intervalo t-2t)
En el instante t, el coheteexpulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v2.
El momento lineal inicial del cohete (M-m)v1 es igual al momento final del cohete más el de la fracción m del combustible expulsado.
| (M-2m)v2+m(v1-u)= (M-m)v1 |

El cohete se moverá con velocidad constante v2 en el intervalo detiempo t -2t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v1-u.
3. En el intervalo t-3t)
En el instante 2t, el cohete expulsa otra fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o v2-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masa m y adquiere una velocidad v3. Aplicando el principio de conservación del momento lineal, despejamos v3.
|(M-3m)v3+m(v2-u)= (M-2m)v2 |

El cohete se moverá con velocidad constante v3 en el intervalo de tiempo 2t -3t. La fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante v2-u.
4. En el intervalo nt-nt)
En el instante (n-1)t, el cohete expulsa la última fracción m de combustible con velocidad u respecto del cohete o vn-1-u respecto de Tierra. El cohete pierde otra masam y adquiere una velocidad vn.

El cohete se moverá con velocidad constante vn en a partir del instante t=(n-1) t. La última fracción m del combustible expulsado se moverá con velocidad constante vn-1-u.
Momento lineal
En el intervalo de tiempo comprendido entre (i-1)·t -i·t el momento lineal del cohete es
Pc=(M-i·m)vi
El momento lineal del combustible expulsado, como podemos comprobaren la primera figura es
Pg=m(-u)+m(v1-u)+m(v2-u)+…m(vi-1-u)
La conservación del momento lineal del sistema aislado formado por el cohete y el combustible que expulsa, exige que ambos momentos sean iguales y de sentido contrario. Pc+Pg=0.
Energía
La energía final del sistema, es la suma de la energía cinética del cohete Ec con velocidad final vn, y la energía cinética Eg de las fracciones demasa m de combustible expulsados con velocidad (-u), (v1-u), (v2-u)… (vn-1-u), respectivamente.

Desplazamiento
* El desplazamiento en el intervalo de tiempo (0-t) es x1=v1·t
* El desplazamiento en el intervalo de tiempo (t-2t), vale x2=v2·t
* El desplazamiento en el intervalo de tiempo (2t-3t), vale x3=v3·t
El desplazamiento total en el intervalo de tiempo (0- n·t) será...