Cojuntos Convexos

Concepto de conjunto convexo: ¿Qué es?
El análisis de la convexidad de conjuntos así como los diferentes tipos de convexidad o concavidad de funciones son instrumentos fundamentales para la Teoríade la Optimización Matemática.
¿De qué se trata?
La idea de conjunto convexo, analizar el conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto.

Obsérvese que para cualquierpar de puntos (x,y) que estén dentro del conjunto A, el segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en consecuencia A sería un conjunto convexo.
¿Para qué sirve?
Para hallar lospuntos óptimos para saber si es convexo.
¿Cómo se realiza?
Puntos óptimos de funciones en conjuntos convexos.
Se define una función lineal con dos variables como una expresión de la forma f(x, y) =ax + by.
Ha de observarse que para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuación ax+by=c. Al variar "c", se obtienerectas paralelas tales que todas tiene la misma pendiente -a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b).
Si los valores de x e y no están acotados, tampoco lo estará f(x, y), en cambio, si estánrestringidos a un cierto conjunto C, la función no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valores máximo o mínimo (valores óptimos) de f(x, y) en C.

Se cumple el siguiente teorema: "Si unafunción lineal f(x, y)=ax+by tiene máximo o mínimo en un conjunto C convexo, toma este valor óptimo en un punto extremo".
En efecto, si el valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto (x, y)interior al conjunto convexo C, siempre se podrían encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=0, en las cuales f(x, y) tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c máximo o mínimo. Luego estosvalores sólo pueden presentarse en los puntos extremos.
Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f(x, y) en el conjunto convexo C podemos proceder de dos formas:
Estudiar los...