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GRADO EN ECONOMÍA. MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y LA EMPRESA
RELACIÓN COMPLEMENTARIA DE PROBLEMAS. LECCIÓN 1 (Epígrafes 1-4)

1.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones, analice el carácter del mismo según el valor del parámetro α y obtenga su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.

3x + y − z = 2 2x − 3 y + 4z = 8 x + 4 y − α z = −6
Solución:

Para analizar elcarácter del sistema, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius basado en el cálculo de rangos de matrices. Denotemos por A la matriz de coeficientes del sistema y por A* a la matriz ampliada (formada por la matriz de coeficientes a la que se añade una última columna que recoge los términos independientes del sistema). De acuerdo con este teorema, 1. El sistema es incompatible si rg(A) ≠ rg(A*). 2. Elsistema es compatible si rg(A) = rg(A*), pudiendo ocurrir: 2.1) rg(A) = rg(A*) = número de incógnitas del sistema, entonces éste es compatible determinado. 2.2) rg(A) = rg(A*) < número de incógnitas del sistema, entonces éste es compatible indeterminado. En consecuencia, hemos de estudiar el rango de las siguientes matrices:
3 1 −1    A = 2 − 3 4  1 4 −α    3 1 −1  A* =  2 − 3 4 1 4−α  2   8  − 6 

La matriz A tendrá rango tres si su determinante es distinto de cero. Dicho determinante va a depender del valor del parámetro: A = 11α − 55 ≠ 0 ⇔ α ≠ 5 Por tanto, si α ≠ 5 la matriz A tiene rango tres. Además, en tal caso, la matriz ampliada también tiene rango tres ya que se trata de una matriz de orden 3×4 y el determinante de A es un menor de A*. En consecuencia, si α ≠ 5,como rg(A) = rg(A*) = 3 (número de incógnitas) el sistema es compatible determinado. Estudiemos ahora qué ocurre si α = 5. En tal caso, la matriz A es de rango 2 ya que existe un menor de orden dos no nulo. 3 1 = −11 ≠ 0 2 −3

Veamos si A* tiene rango superior. Para ello, orlamos este menor añadiendo la tercera fila y la cuarta columna de A*:
3 1 1 4 2 8 = 96 − 96 = 0  rg ( A*) = 2 −6

2−3

Por tanto, rg(A) = rg(A*)= 2 < número de incógnitas y el sistema es compatible indeterminado cuando α = 5. Terminado el análisis del sistema, nos piden que lo resolvamos en el caso en el que sea compatible indeterminado, con lo cual estaríamos en la última situación analizada (α = 5). El rango de A nos indica el número de ecuaciones linealmente independientes y a partir del menor de orden dosno nulo que hemos tenido en cuenta anteriormente, el sistema de partida es equivalente al siguiente: 3x + y = 2 + z
2x − 3y = 8 − 4z al cual le podemos aplicar la regla de Cramer para obtener las variables x e y en función de del valor que tome z: 2+ z 1 8 − 4 z − 3 14 − z x= = 3 1 11 2 −3 3 2+ z 2 8 − 4 z 14 z − 20 = y= 3 1 11 2 −3  14 − z 14 z − 20  , , z  con z∈R. En consecuencia, lasolución del sistema es  11  11  Podríamos haber seleccionado otro menor de orden dos no nulo de la matriz A que nos llevaría a otro sistema que también sería equivalente al de partida, pero la resolución se haría en función de otra variable como dependiente. El conjunto de soluciones obtenido, de una u otra forma, sería el mismo.

2.- Dadas las aplicaciones:

f ( x1 , x 2 ) = (2 x1 + x 2 ,−3x1 +5x 2 )

φ ( x1 , x 2 ) = ( x1 − 3x 2 ,( x1 + x 2 ) )
a) Demuestre cuál de ellas es aplicación lineal mediante la definición. b) Determine para la aplicación(es) lineal(es) su matriz respecto de la base B = {(4, 3), (1, 0)}.

1 2

Solución: a) Para que sea lineal f debe verificar: 1. ∀ x = ( x1 , x 2 ) ∈ ℜ 2  ∀ y = ( y1 , y 2 ) ∈ ℜ 2

    f (x + y ) = f (x ) + f ( y )

  f ( x +y ) = f [( x1 , x 2 ) + ( y1 , y 2 ) ] = f ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ) =

= (2 (x1 + y1 ) + x 2 + y 2 , − 3 (x1 + y1 ) + 5 ( x 2 + y 2 )) =

= (2 x1 + x 2 + 2 y1 + y 2 , − 3 x1 + 5 x 2 − 3 y1 + 5 y 2 ) =

= (2 x1 + x 2 , − 3 x1 + 5 x 2 ) + ( 2 y1 + y 2 , − 3 y1 + 5 y 2 ) =   = f ( x1 , x 2 ) + f ( y1 , y 2 ) = f ( x ) + f ( y )
 ∀ x = ( x1 , x 2 ) ∈ ℜ 2  f (λ x

2.-

) = f (λ...