Coloquios-Analisis Matematico II- fiuba

An´lisis Matem´tico II
a
a

FIUBA 16-02-2010

1. Dado el conjunto descripto en coordenadas cartesianas por
m´ximo sabiendo que b + c = 4, b > 0, c > 0.
a

Integrador - Tema 1

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 ≤ 1 hallar su volumen
4
b
c

2. Calcular el ´rea de la superficie descripta en coordenadas cartesianas por:
a
x2 + y 2 + z 2 = 1
−1 ≤ z ≤
2

√

3
2

3. Sea h : R → R lasoluci´n del problema h − h = 2x, h(0) = 1.
o
Sea C la curva definida por las ecuaciones:
2 − x2 − y 2 = z
x2 + y 2 = 2
Calcular la circulaci´n del campo vectorial F (x, y, z) = (x2 y, xy 2 + z, yh(x) − 3yex ) sobre C,
o
√
recorrida de forma tal que la tangente a la curva en el punto ( 2, 0, 0) tenga componente y
positiva.
4. Sea C la curva determinada por la intersecci´n del plano tangente a lasuperficie de ecuaci´n
o
o
y = 4 − x2 − z 2 en el punto (1, 2, 1) con la superficie de ecuaci´n z = x2 .
o
Hallar la circulaci´n del campo vectorial F (x, y, z) = (x − y, x, z) a lo largo de la curva C desde
o
(0, 6, 0) hasta (1, 2, 1).
5. Sea F (x, y, z) = (x + ey , y + sen(xz), z).
Sea V el cilindro V = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 ≤ r2 , 0 ≤ z ≤ a}
Demostrar que el flujo saliente de F atrav´s de la superficie lateral del cilindro es el doble del
e
fujo saliente de F en las tapas para todo a > 0, r > 0.

FIUBA 23-02-2010

An´lisis Matem´tico II
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Integrador - Tema 1

1. Hallar los puntos de la curva de ecuaci´n x2 + y 2 − 4x + 4y = 1 m´s cercanos al origen de
o
a
coordenadas.
2. Calcular el flujo del campo F (x, y, z) = (x, z, −y) a trav´s de la superficie deecuaci´n x = z 2 +y 2
e
o
con 0 ≤ x ≤ 4, z ≤ y orientada de modo tal que la normal tenga componente x positiva.
3. Sea f un campo escalar definido en R2 , diferenciable y tal que

∂f
(u, v)
∂u

=

∂f
(u, v)
∂v

ambas no

nulas para todo (u, v) ∈ R2 . Si h(x) = f (x2 g(x), g(x) + x2 ), hallar la familia de funciones g con
derivada primera continua tales que h (x) = 0.
4. La integralde l´
ınea de un campo vectorial F sobre una curva parametrizada por
σ(t) = (3cos(t), 0, 3sen(t)), 0 ≤ t ≤ π es igual a −36. Calcular la integral de l´
ınea del campo F
a lo largo del eje x desde (−3, 0, 0) hasta (3, 0, 0) sabiendo que rot(F (x, y, z)) = (2z, −z, 1).
5. Dado el campo vectorial F (r) = 3

r
, r = 0, siendo r = (x, y, z) ∈ R3 el vector posici´n y
o
||r||3

||r|| su norma.a) Probar que div(F (r)) = 0 para todo r ∈ R3 − {(0, 0, 0)}
b) Sea S ⊂ R3 una superficie cerrada y orientable tal que (0, 0, 0) ∈ S y V es el volumen
/
encerrado por S. Probar que el flujo saliente de F a trav´s de S, es:
e
12π si (0, 0, 0) ∈ V
F · dS =
S
0
si (0, 0, 0) ∈ V
/

An´lisis Matem´tico II
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FIUBA 02-03-2010

Integrador - Tema 1

Calcular la circulaci´n del campovectorial F (x, y, z) = (z − yex , 2z − ex , 3z 2 ) a lo largo de la curva
o
parametrizada por X(t) = (2 cos(t), 1 − 2 cos(t) − 2 sen(t), 2 sen(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Sea F (x, y) = (y 2 + g(y), xg (y)), con g : R → R una funci´n C 2 (R). Sea C el arco de curva de
o
√
ecuaci´n y = 2 4 − x2 recorrido desde el punto (−2, 0) hasta el punto (2, 0). Hallar el valor de
o
F (0, 0) para que lacirculaci´n del campo F sobre la curva C sea igual a 12.
o
Calcular el volumen del s´lido
o
K = (x, y, z) ∈ R3 : x ≥

z 2 + y 2 ; (x − 2)2 + z 2 + y 2 ≥ 2 ; x ≤ 1 y graficarlo.

Hallar la m´
ınima distancia de la curva plana x = y 2 al punto donde la curva C interseca al eje y con
y > 0, siendo C la curva que pasa por (−18, 0) y es soluci´n de 1 = 4y y .
o
Sean S el plano de ecuaci´n z = x + ylimitado por el cilindro x2 + y 2 = 2 y el campo F (x, y, z) =
o
(x, y, z + h(x, y)) siendo h un campo escalar continuo definido en R2 . Sabiendo que el flujo de F a
trav´s de S es igual a 7 tomando la componente z de la normal positiva, calcular el flujo de F a trav´s
e
e
del plano z = 0 limitado por el mismo cilindro tomando la componente z de la normal negativa.

UBA 29-06-2010...