COMBI0809

Dpto. Matemática Aplicada. Facultad de Informática. UPM.
Matemática Discreta

Curso 08-09

2.- COMBINATORIA
Principios básicos
1)

¿Cuántos números naturales existen menores que 106, cuyas cifras sean todas distintas?

2) Las placas de matrícula de los vehículos de un cierto país constan de 4 letras seguidas de 3 números.
¿Cuántas placas distintas pueden formarse?
3)

¿Cuántos números naturalesexisten menores que 106 que no sean capicúas?

4)

¿Cuántos enteros m del 1 al 1000 no son divisibles por 3?

5) Demuestra que si se eligen 5 puntos cualesquiera en un cuadrado de lado 2, al menos dos de ellos se
encuentran a una distancia no superior a 2 .
6)

¿Cuántos puntos han de elegirse en un cuadrado de lado 2 para asegurar que al menos 2 de ellos estarán a
una distancia no superior a 2 ?
n7) Demuestra que si se eligen 10 puntos cualesquiera en un triángulo equilátero de lado 1, al menos dos de
ellos se encuentran a una distancia no superior a 1/3.
8) ¿Cuál es el mínimo número de estudiantes que debe tener la clase de Matemática Discreta para estar
seguros que al menos 6 estudiantes recibirán la misma nota? (Se supone que sólo hay puntuaciones enteras).
9)

Calcula el número dedivisores de 112.000. ¿Cuántos son impares?

10) ¿Cuántos divisores positivos tiene el número 29338848000 = 28 35 53 73 11? ¿Cuántos son múltiplos de 99?
¿Cuántos son múltiplos de 39?
11) ¿Cuántos números de tres cifras distintas tienen todas ellas impares?, ¿y pares?
12) Se extraen, con reemplazamiento y ordenadamente, cinco cartas de una baraja. ¿En cuántas extracciones
hay al menos un rey? ¿Encuántas extracciones hay al menos un rey o un as?
13) Demuestra que en un conjunto de 12 enteros existen dos cuya diferencia es divisible por 11. ¿Es cierto si
cambiamos diferencia por suma?
14) Se eligen n+1 enteros positivos en el conjunto { 1, 2, 3,..., 3n }. Demuestra que existen dos cuya diferencia
es menor o igual que 2.
15) Se han de pintar las habitaciones de la casa que se muestra en lafigura,
de forma que las habitaciones que están conectadas por una puerta tengan
colores distintos. ¿De cuántas maneras puede pintarse si se dispone de n colores?

A
C

D

B

Variaciones, permutaciones y combinaciones
1) Lanzando un dado 5 veces ¿cuántos resultados diferentes pueden obtenerse, si se tiene en cuenta el orden
de lanzamiento?
2)

Lanzando 5 dados indistinguibles entre sí ¿cuántosresultados diferentes pueden obtenerse?

3) Dadas 5 vocales y 4 consonantes, ¿cuántas palabras de 2 vocales y 2 consonantes distintas se pueden
formar teniendo en cuenta que en cada palabra no figuran dos consonantes seguidas?
4)

¿Cuántas sucesiones de ceros y unos, de longitud n, contienen exactamente tres veces el 0?

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Matemática DiscretaCurso 07-08

5) Se tienen siete libros azules, cinco negros y tres blancos, distintos entre sí. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo color?
6) Un circuito eléctrico posee 10 interruptores. Teniendo en cuenta que cada interruptor tiene dos posiciones
{1, 0}, ¿cuántos estados diferentes puede tener el circuito según la posición de losinterruptores? ¿Cuántos
estados tienen tres interruptores en posición 1 y el resto en posición 0?
7) ¿De cuántas formas diferentes pueden repartirse 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras en 10 urnas distintas
(etiquetadas) de forma que cada urna contenga una bola?
8) La cuadrícula de la figura representa calles de una pequeña ciudad.
Suponiendo que las únicas direcciones permitidas de viaje son haciael
este y hacia el norte,
¿cuántos caminos distintos conducen de A hasta B?
¿cuántos de ellos pasan por C?

B
C

A
9)

Extrayendo 5 cartas de una baraja de 40 ¿cuántos resultados diferentes pueden obtenerse:
a) con reemplazamiento,
b)sin reemplazamiento (el orden de aparición es irrelevante).

10) Un banco tiene que elegir 5 cargos directivos: director, subdirector, interventor, cajero y...