Combinacion lineal
Páginas: 2 (291 palabras)
Publicado: 24 de agosto de 2013
Dependencia e independencia lineal
Sean v1, v2, v3…vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si existen n escalares c1,c2,c3…cnno todos cero tales que c1v1+c2v2+c3v3+…cnvn=0. Si los vectores no son linealmente independientes, se dice que son linealmente independientes.
Para decirlo de otra forma, v1,v2,v3…vn sonlinealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+c3v3+…cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=c3…cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se pueden expresar como unacombinación lineal de v1,v2,v3…vn con coeficientes no todos iguales a cero.
Teorema 5.4.1
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos en un múltiploescalar del otro.
Ejemplo: dos vectores linealmente dependientes
Ejemplo: dos vectores linealmente independiente
El conjunto
S= {(1,2,0),(-2,2,1)}
Es linealmente independienteporque v1 y v2 no son múltiplos escalares entre sí.
Comprobación de independencia lineal.
S= {(1,2,3,),(0,1,2),(-2,0,1)}
Solución: para verificar la dependencia o independencia lineal, seforma la ecuación vectorial c1v1+c2v2+c3v3=0
Si la única solución de esta ecuación es para c1=c2=c3=0, entonces el conjunto S es linealmente independiente. En caso contrario, S eslinealmente dependiente. Al desarrollar esta ecuación se obtiene
c1(1,2,3,)+c2(0,1,2)+c3(-2,0,1)=0,0,0
que produce el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales en c1,c2 y c3.
c1+ 0 - 2c3 = 0
2c1 + c2 + 0 = 0
3c1 + 2c + c3 = 0
La matriz aumentada de este sistema se reduce por eliminación de Gauss-Jordan.
Lo anterior implica que la únicasolución es la trivial, c1=c2=c3=0. Por lo tanto, S es linealmente independiente.
Bibliografías:
Algebra Lineal autor Edward Larson
Algebra Lineal autor Stanley Grossman
Sean v1, v2, v3…vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si existen n escalares c1,c2,c3…cnno todos cero tales que c1v1+c2v2+c3v3+…cnvn=0. Si los vectores no son linealmente independientes, se dice que son linealmente independientes.
Para decirlo de otra forma, v1,v2,v3…vn sonlinealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+c3v3+…cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=c3…cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se pueden expresar como unacombinación lineal de v1,v2,v3…vn con coeficientes no todos iguales a cero.
Teorema 5.4.1
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos en un múltiploescalar del otro.
Ejemplo: dos vectores linealmente dependientes
Ejemplo: dos vectores linealmente independiente
El conjunto
S= {(1,2,0),(-2,2,1)}
Es linealmente independienteporque v1 y v2 no son múltiplos escalares entre sí.
Comprobación de independencia lineal.
S= {(1,2,3,),(0,1,2),(-2,0,1)}
Solución: para verificar la dependencia o independencia lineal, seforma la ecuación vectorial c1v1+c2v2+c3v3=0
Si la única solución de esta ecuación es para c1=c2=c3=0, entonces el conjunto S es linealmente independiente. En caso contrario, S eslinealmente dependiente. Al desarrollar esta ecuación se obtiene
c1(1,2,3,)+c2(0,1,2)+c3(-2,0,1)=0,0,0
que produce el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales en c1,c2 y c3.
c1+ 0 - 2c3 = 0
2c1 + c2 + 0 = 0
3c1 + 2c + c3 = 0
La matriz aumentada de este sistema se reduce por eliminación de Gauss-Jordan.
Lo anterior implica que la únicasolución es la trivial, c1=c2=c3=0. Por lo tanto, S es linealmente independiente.
Bibliografías:
Algebra Lineal autor Edward Larson
Algebra Lineal autor Stanley Grossman
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