Combinaciones lineales
Páginas: 6 (1309 palabras)
Publicado: 18 de noviembre de 2010
4.3 propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal
Y
4.4 base y dimensión de un espacio vectorial.
Propiedades de los vectores
Origen.
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo.
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues parasaber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección.
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido.
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, queestará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
Suma de vectores
La suma ó adición de vectores es una operación interna.
[pic]
Dados dos vectores, [pic] [pic]y [pic]. Se define la suma como:
[pic]
Producto escalar de vectores
El producto escalar de vectores es una operación externa.[pic]
Dados dos vectores, [pic] [pic]y [pic].
Se representa mediante un punto y se define como:
[pic]
También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:
[pic]
Producto de un escalar por un vector
El producto de un escalar por un vector es una operación externa.
[pic]
El producto de un número escalar cualquiera [pic]por un vector [pic]se define como:
[pic]Propiedades fundamentales
Una vez definidas las operaciones principales, se muestran las propiedades fundamentales. Así, para todo[pic], perteneciente a[pic], y para todo [pic]perteneciente a [pic], se tienen las siguientes propiedades:
• Asociatividad: [pic]
• Conmutatividad: [pic]
• Elemento opuesto: [pic]
• Elemento neutro: [pic]
Combinación lineal
Un vector [pic]se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores [pic] si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de [pic] multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar [pic], de forma que:
[pic].
Así, [pic] es combinación lineal de vectores de [pic] si podemos expresar [pic] como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de [pic].
Ejemplo:2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir [pic] sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Dependencia e independencia lineal
Definición: Sea [pic]un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente independientes si laecuación vectorial
[pic] ____________________________ (1)
Tiene únicamente la solución trivial, es decir, que a1 = a2 =… = an = 0
NOTA: Si (1) tiene al menos una solución no trivial, es decir, al menos uno de los coeficientes de (1) sea diferente de cero, entonces los vectores dados son linealmente dependientes
Ejemplos
[pic]
Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:[pic]
Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:
[pic]
Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.
Método alternativo usando determinantes
Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es cero.Dados los vectores:
[pic]
La matriz formada por éstos es:
[pic]
El determinante de esta matriz es:
[pic]
Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.
En el espacio tridimensional usual:
[pic]
• u y j son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).
• u y v son independientes y definen el...
Y
4.4 base y dimensión de un espacio vectorial.
Propiedades de los vectores
Origen.
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo.
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues parasaber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección.
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido.
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, queestará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
Suma de vectores
La suma ó adición de vectores es una operación interna.
[pic]
Dados dos vectores, [pic] [pic]y [pic]. Se define la suma como:
[pic]
Producto escalar de vectores
El producto escalar de vectores es una operación externa.[pic]
Dados dos vectores, [pic] [pic]y [pic].
Se representa mediante un punto y se define como:
[pic]
También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:
[pic]
Producto de un escalar por un vector
El producto de un escalar por un vector es una operación externa.
[pic]
El producto de un número escalar cualquiera [pic]por un vector [pic]se define como:
[pic]Propiedades fundamentales
Una vez definidas las operaciones principales, se muestran las propiedades fundamentales. Así, para todo[pic], perteneciente a[pic], y para todo [pic]perteneciente a [pic], se tienen las siguientes propiedades:
• Asociatividad: [pic]
• Conmutatividad: [pic]
• Elemento opuesto: [pic]
• Elemento neutro: [pic]
Combinación lineal
Un vector [pic]se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores [pic] si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de [pic] multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar [pic], de forma que:
[pic].
Así, [pic] es combinación lineal de vectores de [pic] si podemos expresar [pic] como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de [pic].
Ejemplo:2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir [pic] sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
Dependencia e independencia lineal
Definición: Sea [pic]un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente independientes si laecuación vectorial
[pic] ____________________________ (1)
Tiene únicamente la solución trivial, es decir, que a1 = a2 =… = an = 0
NOTA: Si (1) tiene al menos una solución no trivial, es decir, al menos uno de los coeficientes de (1) sea diferente de cero, entonces los vectores dados son linealmente dependientes
Ejemplos
[pic]
Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:[pic]
Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:
[pic]
Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.
Método alternativo usando determinantes
Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es cero.Dados los vectores:
[pic]
La matriz formada por éstos es:
[pic]
El determinante de esta matriz es:
[pic]
Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.
En el espacio tridimensional usual:
[pic]
• u y j son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).
• u y v son independientes y definen el...
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