Combinaciones Lineales

Combinación lineal
Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

C
Cualquier vector se puede ponercomo combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmentedependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmentedependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar comocombinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todoslos vectores sonlinealmente dependientes.
2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3.Dos vectores libres del plano  = (u1, u2) y  = (v1, v2) son linealmentedependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , y . escribir  como combinación lineal de  y, siendo k el valorcalculado.
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes
Variosvectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0
Los vectores linealmenteindependientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplos
1.Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
 = (2, 3, 1),  = (1, 0, 1),  = (0, 3, −1)
a (2,3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.
El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes....