Combinaciones y permutaciones

Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
| "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. |  |   |
| "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2. |
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
| Si el orden no importa, es una combinación. |
| Si el orden sí importa es una permutación. |

Una permutación es una combinación ordenada.
Permutaciones
Hay dos tipos depermutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidadespara la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr |
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa) |
2.Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
| Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. |
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... =20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
| La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: * 4! =4 × 3 × 2 × 1 = 24 * 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 * 1! = 1 |
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. |
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar demultiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... |   | = 16 × 15 × 14 = 3360 |
| | |
13 × 12 ... | | |
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
|
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa) |
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo deelegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 3360 |
| | | | | |
(16-3)! | | 13! | | 6,227,020,800 | |
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
10! | = | 10! | = | 3,628,800 | = 90 |
| | | | | |
(10-2)! | | 8! | | 40,320 | |
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda lafórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números...