Combinaciones

Combinaciones
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n, r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n, r)/r! en notación matemática.
Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartasde un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones posibles sería: P (9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

También hay dos tipos de combinaciones
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición| Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son * {c, c, c} (3 de chocolate) * {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla) * {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla) |
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas paraelegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
| Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate! |  | Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres. |
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate): | |
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla): | |
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla): ||
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengancírculos.
Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
|
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa) |
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas envez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)! | = | 7! | = | 5040 | = 35 |
| | | | | |
3!(5-1)! | | 3!×4! | | 6×24 | |

2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y sitienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
* imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
* después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellasson iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa | El orden no importa |
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos....