combinaciones

COMBINACIONES

página 29

TEMA 2

COMBINACIONES

DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados
de r en r , se llaman combinaciones.
Por ejemplo, sean cuatro elementos { a,b,c,d } . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden
formar con esos cuatro elementos son:

{a,b,c} , {a,b,d } , {a,c,d } y {b,c,d }
es decir, en total hay4 conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4
combinaciones posibles.
Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino
solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa elorden de los
elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se
hayan escrito en diferente orden:

{b,c,d } = {c,b,d }
En el estudio matemático de las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A
pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa
combinaciones.FÓRMULA
La fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados
de r en r , es

página 30

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

n

n!

Cr =

r !( n − r ) !

Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles?
Solución:

Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en estecaso se tiene que
n=9
r=6
de manera que

9

C6 =

9!
= 84
6! ( 9 − 6 ) !

Ejemplo 2: ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las
cuales pueden ocupar todas cualquier puesto?
Solución:

Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre
las siete que restan para ocuparel puesto de vocal. Se trata de un problema de composición, ya que la
combinación total (el comité) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso
se tiene que

n p = 8⎫
⎪
⎬ presidente
rp = 1 ⎪
⎭
nv = 7 ⎫
⎬ vocales
rv = 3 ⎭
de manera que

8

C1 × 7 C3 =

8!
7!
×
= 280
1! ( 8 − 1) ! 3! × ( 7 − 3 ) !

Hay 280 maneras de formas el comité.
Enproblemas de composición el resultado final no depende de que se inicie el cálculo con la primera
subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles
para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto,

COMBINACIONES

página 31

nv = 8 ⎫
⎬ vocales n = 8
rv = 3 ⎭
n p = 5⎫
⎪
⎬ presidente n = 5
rp = 1 ⎪
⎭de manera que

8

C3 × 5C1 =

8!
5!
×
= 280
3! ( 8 − 3 ) ! 1! ( 5 − 1) !

Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puede
hacerlo:
a)
b)
c)
d)
Solución:

en total;
si las personas A y B no deben ir juntas;
si las personas A y B no pueden ir por separado;
si debe estar forzosamente la persona C ?

a) En estecaso, al no estar condicionado, se tiene que
n=8
r=5

de manera que

8

C5 =

8!
= 56
5! ( 8 − 5 ) !

b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B sí, con lo cual es suficiente para que ambos no
estén juntos; dos, que B no vaya mientras A sí; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entonces
analizar caso por caso.
I.- Cuando A no asiste y B sí: Si B sí asiste, quedan yasolamente 4 personas por invitar para
completar las cinco requeridas, las cuales deben escogerse entre las seis que restan quitando a
A (para garantizar que no asista) y a B (que ya está entre los asistentes).
En este caso

n=6
r=4

página 32

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

de manera que

II.-

6

C4 =

6!
= 15
4! ( 6 - 4 ) !

Cuando A sí asiste y B no: Es exactamente lo mismo...