Combinaciones

COMBINACIONES

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TEMA 2

COMBINACIONES

DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de conjuntos que se pueden formar con ellos, tomados de r en r , se llaman combinaciones. Por ejemplo, sean cuatro elementos { a,b,c,d } . Los conjuntos, tomados de tres en tres, que se pueden formar con esos cuatro elementos son:

{a,b,c} , {a,b,d } , {a,c,d } y {b,c,d }
es decir, en total hay 4conjuntos diferentes formados con tres elementos. Se dice entonces que existen 4 combinaciones posibles. Es importante notar la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. En la permutación lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino solamente "los integrantes" del conjunto. Hay que recordar que en un conjunto no importa el ordende los elementos. Por ejemplo, los siguientes conjuntos son iguales por tener los mismos elementos, aunque se hayan escrito en diferente orden:

{b,c,d } = {c,b,d }
En el estudio matemático de las combinaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa combinaciones. FÓRMULALa fórmula general para calcular las combinaciones que se pueden obtener con n elementos, tomados de r en r , es

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

n

Cr =

n! r !( n − r ) !

Ejemplo 1: ¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles? Solución: Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que n=9r=6 de manera que

9

C6 =

9! = 84 6! ( 9 − 6 ) !

Ejemplo 2: ¿Cuántas comités de 1 presidente y 3 vocales se pueden formar a partir de un grupo de 8 personas, las cuales pueden ocupar todas cualquier puesto? Solución: Se requiere una sola persona, de entre las 8 disponibles, para ocupar el cargo de presidente, y 3 de entre las siete que restan para ocupar el puesto de vocal. Se trata deun problema de composición, ya que la combinación total (el comité) se compone a su vez de varias subcombinaciones, por lo que, en este caso se tiene que

n p = 8⎫ ⎪ ⎬ presidente rp = 1 ⎪ ⎭
nv = 7 ⎫ ⎬ vocales rv = 3 ⎭
de manera que

8

C1 × 7 C3 =

8! 7! × = 280 1! ( 8 − 1) ! 3! × ( 7 − 3 ) !

Hay 280 maneras de formas el comité. En problemas de composición el resultado final nodepende de que se inicie el cálculo con la primera subcombinación o con otra. En el problema anterior, si en vez de iniciar con las combinaciones posibles para presidente se comienza con los vocales, se obtiene el mismo resultado. En efecto,

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nv = 8 ⎫ ⎬ vocales n = 8 rv = 3 ⎭ n p = 5⎫ ⎪ ⎬ presidente n = 5 rp = 1 ⎪ ⎭
de manera que

8

C3 × 5C1 =

8! 5! × = 280 3!( 8 − 3 ) ! 1! ( 5 − 1) !

Ejemplo 3: Una persona desea invitar a 5 de sus amigos entre un grupo de 8 amistades. ¿De cuántas maneras puede hacerlo: a) b) c) d) Solución: en total; si las personas A y B no deben ir juntas; si las personas A y B no pueden ir por separado; si debe estar forzosamente la persona C ?

a) En este caso, al no estar condicionado, se tiene que n=8 r=5

de manera que8

C5 =

8! = 56 5! ( 8 − 5 ) !

b) Hay tres opciones: Una, que A no vaya mientras B sí, con lo cual es suficiente para que ambos no estén juntos; dos, que B no vaya mientras A sí; y tres, que ni A ni B vayan. Conviene entonces analizar caso por caso. I.- Cuando A no asiste y B sí: Si B sí asiste, quedan ya solamente 4 personas por invitar para completar las cinco requeridas, las cualesdeben escogerse entre las seis que restan quitando a A (para garantizar que no asista) y a B (que ya está entre los asistentes). En este caso n=6 r=4

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

de manera que

6

C4 =

6! = 15 4! ( 6 - 4 ) !

II.-

Cuando A sí asiste y B no: Es exactamente lo mismo que el caso anterior, por lo tanto hay 15 maneras más.

III.- Cuando ni A ni B...