Combinación e Independencia Lineal

Combinación Lineal é Independencia Lineal
Dependencia e independencia lineal.
Definición. Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}.
(a) Se dice que {v1,. . . , vn} eslinealmente dependiente (L.D.) si existe alguna combinación lineal no trivial de dichos vectores igual al vector nulo. Es decir, si existen:
coeficientes α1, α2, . . . , αn ∈ K no todos nulos tales que
α1v1 +α2v2 + · · · + αnvn = 0.
(b) Se dice que {v1, . . . , vn} es linealmente independiente (L.I.) si no es linealmente
Dependiente.
Si {v1,. . . , vn} son vectores linealmente dependientes y tenemosuna combinación lineal
De estos vectores igual al vector nulo
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0.
y el coeficiente αk ≠ 0, entonces de la igualdad anterior se puede despejar vk que quedará expresado comocombinación lineal de los restantes vectores. Recíprocamente si tenemos un vector que es combinación lineal de otros, el conjunto formado por estos y el vector combinación lineal es un conjuntolinealmente dependiente. Notemos además de que si una combinación lineal de vectores es igual al vector nulo, la combinación lineal que resulta de multiplicar por cualquier coeficiente también es el vectornulo.
Propiedades
Consideremos un conjunto finito de vectores {v1, . . . , vn}
(1) La dependencia o independencia lineal de {v1, . . . , vn} no depende del orden en el que estén dados los vectores.(2) Si uno de los vectores es nulo o hay vectores repetidos, entonces es L.D.
(3) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sustituir un vector por un múltiplo no-nulo. Siendoc ≠ 0 ( c ∈ K),
{v1, . . . , vn} es L.D. ⇔ {u1 = cv1, v2, . . . , vn} es L.D
(4) La dependencia/independencia lineal de un conjunto no cambia al sumar a un vector
un múltiplo de otro (distinto).Siendo α ∈ K
{v1, . . . , vn} es L.D. ⇔ {v1, u2 = v2 + αv1, . . . , vn} es L.D.
(5) Al añadir vectores a un conjunto L.D. se obtiene un conjunto L.D. Al suprimir vectores de un conjunto L.I....