combinatoria: datos y azar

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Guía Matemática
COMBINATORIA
tutora: Jacky Moreno

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En distintas ocasiones se nos ha planteado que ordenemos y/o agrupemos un conjunto de determinados
objetos. Generalmente, esto lo realizamos de tal forma que al ordenarlos o agruparlos una segunda vez
vamos variando la posici´n de los objetos o los elementos que lo componen, pero ¿cu´ntas formasexisten
o
a
de ordenar los mismo objetos?, es decir, ¿en qu´ momento empiezo a repetir el orden de estos?
e
A partir de preguntas como las anteriores es que sale a la luz un tipo especial de proceso de contar.
Este se presenta cuando queremos conocer el n´mero de formas distintas en que se pueden agrupar y
u
ordenar un conjunto de elementos bajo ciertas condiciones. A continuaci´nestudiaremos tres maneras
o
distintas de ordenar un determinado grupo de elementos a trav´s de las permutaciones, los arreglos y las
e
combinaciones.

1.

Permutaciones (P)

Las permutaciones consisten en ordenar un conjunto de elementos de todas las maneras posibles, de
tal forma que si poseo 8 elementos entonces tengo 8 posiciones para ubicarlos. Por ejemplo, si tengo 3
copas de distintoscolor y las quiero ubicar en una l´
ınea recta sobre un estante, ¿de cu´ntas formas lo
a
puedo realizar? Si hacemos las ordenaciones de forma expl´
ıcita llegaremos a los siguientes 6 resultados
posibles:

Si lo resolvemos de manera matem´tica debemos seguir el siguiente razonamiento: En la primera
a
posici´n tengo 3 opciones de copas para poner, en la segunda posici´n las opciones se meredujeron en
o
o
una unidad ya que una copa ya est´ ocupada en el primer puesto, por lo tanto tengo tan solo 2 opciones,
a
finalmente en la ultima posici´n tengo una unica opci´n. De esta forma la cantidad de permutaciones que
´
o
´
o
puedo realizar con 3 elementos sera:
P3 = 3 · 2 · 1 = 6
En forma general, si tengo un conjunto con n elementos, el n´mero de permutaciones o formas que
upuedo ordenarlos es igual a:
Pn = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · . . . · 2 · 1
Para abreviar este n´mero se ha adoptado la notaci´n factorial, en donde el factorial de n, se escribe
u
o
n! y corresponde a la multiplicaci´n de los enteros entre 1 y n ´stos incluidos, es decir:
o
e
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · . . . · 2 · 1

2

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Desaf´ 1
ıo
Verificar laveracidad de la siguiente afirmaci´n:
o
0! = 0
Respuesta

El n´mero de permutaciones posibles para un
u
conjunto de n elementos es:
Pn = n!

Observaci´n: Las expresiones trabajadas anteriormente corresponden a situaciones en donde los
o
elementos no se pueden repetir.

 Ejemplo
10.000 personas participaron de un concurso online realizado por la compa˜´ “Vuela seguro”. Si la empresasorteaba unos pasajes dobles a Esnıa
pa˜a, Inglaterra, Canad´, Colombia, Cuba, Jap´n y Egipto, ¿de cu´ntas
n
a
o
a
maneras posibles se pueden designar los premios a las 7 personas ganadoras?
Soluci´n: En este caso nos est´n pidiendo repartir los 7 destinos de pasao
a
jes entre las 7 personas ganadoras, por lo tanto como nos estan pidiendo
combinaciones ordenadas hacemos uso de laspermutaciones. Como tenemos 7 ganadores y 7 destinos calculamos la P7 :
Pn = n!
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5.040
Por lo tanto hay 5.040 posibilidades distintas de repartir los 7 destinos
entre los ganadores del concurso online.

 Ejercicios

1

Resolver los siguientes ejercicios.
1. Determinar de cuantas formas distintas se pueden colocar 6 cajas de distintos coloresapiladas en
una esquina.
2. Un obrero compro 4 tarros de pintura de colores amarillo, blanco, naranjo y verde cada uno. Si tiene
que pintar 4 habitaciones, la pieza matrimonial, el comedor, el lavadero y el ba˜o, de un color cada
n
uno. ¿De cu´ntas formas distintas se puede llevar a cabo el trabajo del obrero?
a

3

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3. ¿Cu´ntos n´meros de 5 cifras se pueden formar con los...