Combinatoria

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Ejercicios de Combinatoria para las olimpiadas

1.-Sean las siguientes tres letras A  B C

a).- ¿De cuantas forma se puede agrupar las tres letras tomando dos letras, si podemos distinguir de [pic], no se permite repetir letras?

Solución: El conjunto de pares que podemos formar son las siguientes: AB       AC      BA       BC       CA      CB = 3×2×1=6

b).- ¿De cuantas forma se puede agrupar las tres letras tomando dos letras, si no importa el orden, es decir  AB=BA, sin permitir repetir letras?

Solución: Los pares que podemos formar son los siguientes: AB, AC, BC = (3×2×1) ÷ 2 = 3

2.-Determinemos que sucede si tenemos las siguientes letras: A, B, C, D, E
a).- ¿De cuántas formas podemos agrupar las letras si consideramosagrupaciones de tres letras en las que podemos distinguir el orden, es decir, [pic]?

Solución: Para el primer inciso. Para colocar la primera letra tenemos 5 posibilidades, para colocar la segunda tenemos 4 posibilidades dado que ya se ha colocado una primera letra del total de las cinco que teníamos, para colocar la tercer letra, dado que ya hemos ocupado dos letras para colocar las anteriores solotenemos 3 posibilidades para la última, es decir:
5×4×3 = 60

b).- ¿De cuántas formas podemos agrupar las letras si consideramos agrupaciones de tres letras en las que no podemos distinguir el orden, es decir, ABC=BCA?

Solución: Para el segundo inciso vemos que el orden no nos importa, por lo que adicional al resultado debemos considerar que el número de veces en que se repite las letras tomandode tres letras es: [pic], por lo que dividiendo entre 6 habremos quitado el número de repeticiones, es decir expresiones como las siguientes solo se contaran una sola vez y no mas veces: ABC=BCA. Finalmente el resultado es igual a
[pic]
3.- Ejemplo de combinatoria (Variaciones SIN repetición): ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas delsistema decimal?

a) Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
b) Por tanto, se pueden formar 504 números:   [pic]  


4.- Ejemplo de combinatoria (Variaciones CON repetición): ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

a) Al  tratarse de números el orden importa yademás no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
b) Por tanto, se pueden formar 729 números:   [pic]


5.- Ejemplo de combinatoria: ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

a) Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, debenrepetirse.
b) Por tanto, se pueden formar 1024 palabras:   [pic]


6.- Ejemplo de combinatoria (Permutaciones SIN repetición): Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Portanto, se pueden formar 120 palabras:   [pic]


7.- Ejemplo de combinatoria (Permutaciones CON repetición): ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas paracolocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas:   [pic]


8.- Ejemplo (Combinaciones SIN repetición): Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin...