combinatoria

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14 COMBINATORIA

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

14.1 Un determinado modelo de automóvil se fabrica con dos tipos de motores: diésel y gasolina. En cinco
colores: blanco, rojo, azul, verde y negro, y con tres terminaciones: básica, semilujo y lujo. ¿Cuántos modelos diferentes se fabrican?
Formamos el siguiente diagrama de árbol.
MOTOR

COLOR

TERMINACIÓNBásica

Blanco
Diesel

Semilujo

Rojo

Lujo
·

Azul
Verde

·

Negro
Blanco

·
·

Rojo
Gasolina

·

·

Azul
Verde

·
·

Negro
2 motores

5 colores

3 terminaciones

Por tanto, se fabrican 30 modelos diferentes de coches.

14.2 Se lanzan al aire 2 dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6 y, cuando caen al suelo, se anota
el resultado de la carasuperior. Forma un diagrama en árbol para calcular los diferentes resultados que
se pueden obtener. ¿Y si se lanzan tres dados cúbicos?
1
2
1

3

2

4

3

5

4

6

5
6

Por tanto, se pueden obtener 6 и 6 ϭ 36 resultados diferentes.
Para el caso de tres dados, el número de resultados diferentes que se pueden obtener es: 6 и 6 и 6 ϭ 216.

14.3 Un partido político tiene 18candidatos para formar las listas de unas elecciones. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar a los 4 primeros de las listas?
Se trata de obtener las variaciones sin repetición de 18 elementos tomados de 4 en 4:
V18,4 ϭ 18 и 17 и 16 и 15 ϭ 73 440 formas
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14.4 En una clase con 30 alumnos, se van a elegir el delegado, el subdelegadoy el secretario. ¿De cuántas
formas se pueden asignar los tres cargos?
Se trata de obtener las variaciones sin repetición de 30 elementos tomados de 3 en 3:
V30,3 ϭ 30 и 29 и 28 ϭ 24 360 formas
14.5 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
Se trata de obtener las variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3:
VR5,3 ϭ 53 ϭ 125 números14.6 ¿Cuántos números de tres formas se pueden formar con los dígitos del 0 al 9?
Como ha de ser un número de tres dígitos, el primer dígito tiene que ser distinto de 0. Así que el primer dígito puede ser cualquier cifra del 1 al 9, y el segundo y el tercer dígito pueden ser cualquier cifra del 0 al 9.
Luego habrá 9 и 10 и 10 ϭ 900 números distintos.
14.7 En España, las matrículas de los cochesestán representadas por 4 números, repetidos o no, seguidos de
tres letras consonantes repetidas o no, exceptuando la ñ, q, ll y ch. ¿Cuántos coches se podrán matricular con este sistema?
Formaciones diferentes de los 4 números: VR10, 4 ϭ 104.
Formaciones diferentes de las 26 letras: VR26, 3 ϭ 263.
Matrículas diferentes que se pueden formar ϭ 104 и 263 ϭ 175 760 000.
14.8 Calcula las siguientesoperaciones con factoriales.
6!
a) 5!
b) ——
4!
a) 5! ϭ 5 и 4 и 3 и 2 и 1 ϭ 12

9!
c) ——
7!

10!
d) ——
6! ؒ 4!

6!
6 и 5 и 4!
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 6 и 5 ϭ 30
4!
4!
9!
9 и 8 и 7!
c) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 9 и 8 ϭ 72
7!
7!
10!
10 и 9 и 8 и 7 и 6!
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 210
6! и 4!
6! и 4 и 3 и 2 и 1
14.9 Pedro tiene que colocar en una estantería 24 libros y un diccionario.
a) ¿De cuántas formasdiferentes los puede colocar?
b) ¿De cuántas maneras distintas los puede ordenar si quiere que el diccionario quede siempre el primero por la izquierda?
a) Se trata de hallar las diferentes maneras de ordenar 25 elementos; por tanto, P25 ϭ 25! ϭ 1,55 и 1025.
b) Se coloca el diccionario a la izquierda, y se trata de hallar las diferentes maneras de ordenar 24 elementos; por tanto, P24 ϭ 24! ϭ 6,2 и1023.
14.10 ¿Cuántos números diferentes se pueden obtener si permutamos de todas las formas posibles las cifras
del número 2323? Escríbelos.
Se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 4 elementos que se repiten 2 veces cada uno:
4!
2,2
P4 ϭ ᎏᎏ ϭ 6 formas
2! и 2!
Los números son los siguientes: 2233, 2323, 2332, 3223, 3232 y 3322.
14.11 ¿De cuántas formas distintas...