Combinatoria

Cap´ıtulo 1

COMBINATORIA
Previamente al estudio de la probabilidad en s´ı, conviene dedicar alg´
un tiempo al repaso de las
t´ecnicas combinatorias.
Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matem´aticas que se ocupa de la resoluci´on de
problemas de elecci´on y disposici´
on de los elementos de cierto conjunto, de acuerdo con ciertas reglas.
Es decir, dentro de la Combinatoria es d´onde tienen sentido preguntas del tipo:
1. ¿Cu´
antas quinielas distintas pueden hacerse?.
2. ¿Cu´
antas posibles combinaciones pueden darse en la loter´ıa primitiva?.
3. ¿Qu´e posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.
4. ¿De cu´antas formas se pueden sentar 5 personas en 5 asientos de un cine?.
Trataremos de dar respuesta a estas cuestiones y algunas m´as.

1.1.Conceptos fundamentales

En todo problema combinatorio hay varios conceptos claves que debemos distinguir:
1. Poblaci´
on: Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Llamaremos tama˜
no de la
poblaci´
on al n´
umero de elementos de este conjunto.
2. Muestra: Es un subconjunto de la poblaci´
on. Llamaremos tama˜
no de la muestra al n´
umero de
elementos que la componen.
Los diferentes tiposde muestra vienen determinados por dos aspectos:
a) El orden, es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.
b) La posibilidad de repetici´
on o no de los elementos.
Ejemplo: Veamos con qu´e tipo de poblaciones y muestras trabajamos en los ejemplos anteriores:
1. La poblaci´
on en este caso es {1,X,2}, que tiene tama˜
no 3 (no hay otras posibilidades en unaquiniela).
Una quiniela (teniendo en cuenta el ”pleno al 15”) es una muestra de tama˜
no 15 de la poblaci´
on
anterior (por ejemplo : 1XX121XXX212111).
Es evidente que el orden en esta muestra es importante (no es lo mismo una X en la segunda
casilla que en la quinta) y que se permiten elementos repetidos ( los unos , equis o doses se
pueden repetir).
Es por tanto una muestra ordenada y conrepetici´
on.
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CAP´ITULO 1. COMBINATORIA

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2. En este caso la poblaci´
on es mayor, pu´es son todos los n´
umeros desde el 1 al 49, es decir
{1,2,3. . . .,49}.
Por tanto, y si nos olvidamos del complementario, una apuesta de loter´ıa primitiva es una muestra
de tama˜
no 6 de dicha poblaci´
on (por ejemplo 3, 18, 40, 41, 43, 45 ).
Aqu´ı el orden no influye y los elementos no se pueden repetir (nopuede salir un n´
umero m´as de
una vez). Son muestras no ordenadas y sin repetici´
on.
3. La poblaci´
on ahora est´
a formada por las 40 cartas que componen una baraja espa˜
nola, es decir
{1 oros, 2 oros,. . . .,Rey bastos} , y para el caso de 4 jugadores, tenemos una muestra de 10
cartas, que evidentemente no se pueden repetir y adem´
as el orden no importa.
Muestras no ordenadas y sinrepetici´
on.
4. La poblaci´
on son las 5 personas a elegir, y la muestra tiene el mismo tama˜
no, 5, pues elegimos a
las 5 personas. Eso s´ı, ahora el orden s´ı que es importante y adem´
as las personas no se pueden
repetir.
Son muestras ordenadas y sin repetici´
on.
5. Un ejemplo de muestra no ordenada y con repetici´
on podr´ıa ser una mano de cartas pero teniendo
en cuenta que jugamos con 2 barajasid´enticas mezcladas (80 cartas).
Si se reparten 10 a cada uno de 4 jugadores, tenemos una muestra de tama˜
no 10 en la que
es evidente que el orden no importa y que podemos tener cartas repetidas (por ejemplo, dos
caballos de oros).
El objetivo de la Combinatoria es calcular cu´
antos tipos de muestras de un determinado tama˜
no
se pueden extraer de cierta poblaci´
on. El resultado en el que nosbasaremos a la hora de calcular el
n´
umero de muestras es el siguiente:
Principio de multiplicaci´
on:
Si un procedimiento se puede separar en r etapas, de modo que el resultado de una de ellas no influye
en el resultado de las otras, y en cada una de estas etapas se obtienen respectivamente n1 , n2 , n3 , . . ., nr
resultados, entonces el procedimiento global conduce a n1 · n2 · n3 · . . . · nr...