Combinatoria

ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS PARA LA ESTADÍSTICA.

COMBINATORIA

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de quedisponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos. Estas formas de realizar agrupaciones son:

I.- Permutaciones:
Al tomar todos los elementos de un conjunto finito y ordenados de todas las formas posibles tendremos todas las permutaciones de esos elementos.

Permutaciones sin repetición:
Se llama permutaciones de n elementos o permutaciones de orden n, a cada una delas ordenaciones diferentes que es posible hacer con n elementos dados.
El número total de permutaciones de orden n lo designamos Pn y se cumple que:
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Ejemplo: Con las letras de la palabra DISCO ¿cuántas palabras distintas se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cincoelementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras:   [pic]

Permutaciones con repetición:
En varios casos, algunos de los elementos a permutar aparecen repetidos. Como consecuencia de esto, algunas permutaciones obtenidas son iguales.
En general, las permutaciones diferentes de n elementos dados, entre los cuales hay p elementos iguales entre sí, qelementos iguales entre sí, r elementos iguales entre sí son, en total:

Ejemplo.- ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?
El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto,tenemos 1260 modos de colocarlas:   
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II.- Variaciones o arreglos:

Si disponemos de un determinado número de elementos, elegimos algunos de ellos (o todos) y los colocamos ordenados en una fila, cada una de estas ordenaciones recibe el nombre de variación o arreglo.

Variaciones sin repetición:
En las variaciones interesa qué elementos las forman (naturaleza) ycomo se disponen (ordenan).
Las k ordenaciones que se pueden obtener de n elementos está dada por:

[pic] [pic] [pic]

Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nueve dígitos distintos de cero?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504números:  [pic]    

Variaciones con repetición:
Si se trata de una variación en la que se repiten los elementos, la cantidad variaciones está dada por:
[pic]

Ejemplos:

1.- ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los nueve dígitos distintos de cero?

Al  tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Portanto, se pueden formar 729 números:  [pic]

2.- ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras:  [pic]

Combinaciones:
Se llama combinacionesde orden k, a cada uno de los grupos de k eleemntos que podemos formar, elegidos entre n elementos dados, de modo que solo interesa su naturaleza y no el orden en que se dispongan.

La cantidad de combinaciones que se pueden realizar con k elementos de n, está dada por la siguiente fórmula:

Ejemplo: Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de un curso. (Un...