combinatorias

COMBINATORIAS

Es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive. Se
le representa por n! (se lee “n factorial”) :
n! = n (n -1) ( n- 2).... 3 x 2 x 1 = n ( n- 1)!
Por definición : 0! = 1
Ejemplo:
Sean:
1! = 1
3! = 3 x 2 x 1 = 6
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Combinaciones y Permutaciones
¿Qué diferencia hay?
• Normalmente
usamos
la
palabra"combinación"
descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es
importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de
manzanas, uvas y bananas": no importa en
qué
orden pusimos las frutas, podría ser
"bananas, uvas y
manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma
ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí
importa el orden. "724" no funcionaría,ni "247". Tiene
que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más
preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
¡Así que lo de arriba se podría llamar
"cerradura de permutación"!

En otras palabras:
Una permutación
ordenada.

es

una

combinación

Para ayudarnos a recordar, pensemos en
"Permutación...Posición"

Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
• Se permite repetir: como la cerradura de
arriba, podría ser "333".
• Sin repetición: por ejemplo los tres primeros
en una carrera. No puedes quedar primero y
segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición
• Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y
eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay
n posibilidades para la segunda elección, y así.)
• Por ejemplo en la cerradura citada, hay 10 números para elegir
(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:

nr
donde n es el número de cosas que puedes
elegir, y eliges rde ellas (Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
• Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
• Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla
otra vez.
• Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu
siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13,
etc. Yel total de permutaciones sería:
• 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
• Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas,
así que sería solamente:
• 16 × 15 × 14 = 3360
• Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente?
Respuesta: usamos la "función factorial"
• La función factorial (símbolo:!) significa que
se multiplican números descendentes.
Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca
curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar
muchas ecuaciones.

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes
elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir,
el orden importa).

Ejemplos:
• Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas
de 16" sería:
16!

=

(16-3)!

16!

20,922,789,888,000

=

13!

6,227,020,800

= 3360

• ¿De cuántas maneras se pueden dar primer
y segundo premio entre 10 personas?
10!
(10-2)!

=

10!
8!

=

3,628,800
40,320

= 90

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Unapermutación de n objetos diferentes tomados de r en r es una ordenación
de r objetos entre los n dados. Es decir, la cantidad de maneras en que se
pueden disponer en términos de orden:

FÓRMULA:

n!
nP 
r
(n  r )!

La Inmobiliaria Corredores Asociados acordó elegir dentro de su
Directorio conformado por 10 miembros, los cargos de Presidente,
Secretario y Tesorero. Determinar el...