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CAPITULO 1
Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros
La Teor´ıa de N´umeros, al menos originalmente, es la rama de la matem´atica
que estudia las propiedades de los n´umeros naturales 1;2;3; : : : . A poco andar uno
descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´umeros, ni siquiera al
conjunto de los n´umeros enteros : : : ; €3; €2; €1;0;1;2; : : : , sino que muchas veces
sedebe recurrir a otros conjuntos de n´umeros, algebraicos, reales, complejos, etc.
para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa).
Algunos problemas cl´asicos de la Teor´ıa de N´umeros como el llamado ´ultimo
teorema de Fermat o el de la distribuci´on de los n´umeros primos, (ver m´as adelante)
han dado origen a grandes desarrollos de la matem´atica. Por ejemplo, alprimero de
estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´omicos, al segundo todo
el desarrollo de la funci´on zeta de Riemann. Es as´ı que en la Teor´ıa de N´umeros
moderna se emplean sofisticadas te´cnicas de an´alisis matem´atico y de teor´ıa de
probabilidades. Estudiaremos aqu´ı tan s´olo los rudimentos de esta disciplina y
haremos algunos alcances acerca de su relaci´on conla llamada ´algebra abstracta.
1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros
Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´a familiarizado con
los conjuntos
Z = f: : : ; €3; €2; €1;0;1;2; : : :g y
N = f1;2;3; : : :g;
de los n´umeros enteros y de los n´umeros naturales (o enteros positivos), respectivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma
ymultiplicaci´on as´ı como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo
tanto, no daremos una definici´on axiom´atica de ellas.
La propiedad m´as importante de los n´umeros naturales es el siguiente principio:
5PRINCIPIO DE BUEN ORDEN
Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros naturales tiene un menor
elemento.
Decimos que N es un conjunto Bien Ordenado. Intuitivamente, este sencilloprincipio nos dice que siempre puedo encontrar el m´as peque˜no n´umero natural
tal que ......, donde la l´ınea de puntos puede ser llenada por cualquier propiedad
(siempre que exista al menos un n´umero natural que verifique dicha propiedad).
Como consecuencia de esto, por ejemplo, podemos probar que todo n´umero natural
n tiene un (´unico) sucesor, o sea, el n´umero que le sigue en el ordennatural. (Esto
ya lo sabemos: el sucesor de n es n + 1). Para demostrarlo, basta considerar el
conjunto no vac´ıo de los n´umeros naturales estrictamente mayores que n y aplicar
el Principio de Buen Orden. El menor elemento de ese conjunto es el sucesor de n.
Cabe hacer notar que este menor elemento de un conjunto no vac´ıo A cuya
existencia garantiza el Principio es ´unico ya que si hubierados, digamos a y b,
entonces a ” b, ya que a es el menor elemento de A y b 2 A. Similarmente, b ” a,
por lo tanto a = b. Tampoco est de m´as recalcar que, a diferencia del infimo de un
conjunto, que puede no pertenecer a ´el, el menor elemento de A pertenece a A.
Obs´ervese que Z no verifica el Principio de Buen Orden: Z mismo (o los enteros
menores que 8, o los enteros negativos, etc.) es unsubconjunto no vac´ıo de Z que
no tiene un menor elemento. La propiedad de ser un conjunto bien ordenado no es
exclusiva de los conjuntos de n´umeros enteros. Dado cualquier conjunto linealmente
ordenado uno puede preguntarse si es bien ordenado o no. Ver ejercicios.
La segunda propiedad importante de los n´umeros naturales es:
PRINCIPIO DE INDUCCION
Sea P un conjunto de n´umeros naturalestal que:
i. 1 2 P,
ii. si k 2 P entonces k + 1 2 P.
Entonces P = N:
Intuitivamente, el Principio de Inducci´on corresponde al “Principio de Domin´o”:
si cae el primero, cae el que le sigue y el que le sigue y el que le sigue..., por lo
tanto caen todos.
6Supondremos que el lector est´a familiarizado con este principio y sus aplicaciones. Aunque no lo usaremos mayormente en estas notas, es...