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Apartado 7.3: Teoría de conjuntos difusos y lógica difusa
1 Introducción

La lógica difusa1, como su nombre indica, es una lógica alternativa a la lógica clásica que pretende introducir un grado de vaguedad en las cosas que califica. En el mundo real existe mucho conocimiento no-perfecto, es decir, conocimiento vago, impreciso, incierto, ambiguo, inexacto, o probabilístico por naturaleza. Elrazonamiento y pensamiento humano frecuentemente conlleva información de este tipo, probablemente originada de la inexactitud inherente de los conceptos humanos y del razonamiento basado en experiencias similares pero no idénticas a experiencias anteriores. El problema principal surge de la poca capacidad de expresión de la lógica clásica. Supongamos por ejemplo que tenemos un conjunto de personasque intentamos agrupar según su altura, clasificándolas en altas o bajas. La solución que presenta la lógica clásica es definir un umbral de pertenencia (por ejemplo, un valor que todo el mundo considera que de ser alcanzado o superado, la persona en cuestión puede llamarse alta). Si dicho umbral es 1.80, todas las personas que midan 1.80 o más serán altas, mientras que las otras serán bajas.Según esta manera de pensar, alguien que mida 1.79 será tratado igual que otro que mida 1.50, ya que ambos han merecido el calificativo de bajas. Sin embargo, si dispusiéramos de una herramienta para caracterizar las alturas de forma que las transiciones fueran suaves, estaríamos reproduciendo la realidad mucho más fielmente. Asimismo, no hay un valor cuantitativo que defina el término joven. Paraalguna gente, 25 años es joven, mientras que para otros, 35 es joven. Incluso el concepto puede ser relativo al contexto. Un presidente de gobierno o de 35 años es joven, mientras que un futbolista no lo es. Hay sin embargo cosas que están claras: una persona de 1 año es joven, mientras que una de 100 años no lo es. Pero una persona de 35 años tiene algunas posibilidades de ser joven (que normalmentedependen del contexto). Para representar este hecho, definiremos el conjunto joven de modo que cada uno de sus elementos pertenezca a él con cierto grado (posibilidad). De un modo más formal, un conjunto difuso A se caracteriza por una función de pertenencia: µA : U → [0,1] que asocia a cada elemento x de U un número µA(x) del intervalo [0,1], que representa el grado de pertenencia de x alconjunto difuso A. A U se le llama universo de discurso. Por ejemplo, el término difuso joven puede definirse mediante el conjunto difuso siguiente: Edad Grado de Pertenencia 1.0 ≤25 30 0.8 35 0.6 40 0.4 45 0.2
A la hora de traducir el término inglés fuzzy, se barajaron principalmente dos alternativas: borroso y difuso. Aunque en alguna bibliografía se habla aún de Lógica Borrosa o Teoría de losconjuntos borrosos, se utiliza más el término difuso.

1

≥50

0

Es decir, la función de pertenencia del conjunto difuso joven viene dada por: µA(x) = 1 si x≤ 25, µA(30) = 0.8, ...., µA(x) = 0 si x≥50. Que podemos representar en la siguiente gráfica:
µA(x)

1

25

50

U

Figura 1.

Función de pertenencia del conjunto difuso joven

Si el universo de discurso es continuo, tendremosfunciones de pertenencia continuas:

µA(x) 1

25

50

Edad

Figura 2.

Función de pertenencia de joven si U es continuo

En general, si una función de pertenencia se da especificando los valores correspondientes a un conjunto discreto de elementos del universo de discurso, el valor asociado al resto de los elementos se obtiene por interpolación (utilizando la ecuación de la rectaque une los dos puntos2). El origen del interés actual por la teoría de conjuntos difusos se debe a un artículo publicado por Lofti Zadeh en 1.965. En la actualidad es un campo de investigación muy importante, tanto por sus implicaciones matemáticas o teóricas como por sus aplicaciones prácticas. Prueba de esta importancia es el gran número de revistas internacionales (Fuzzy Sets and Systems,...