Como Aser Buenastareas

UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA
Propósitos: Introducir el concepto de integral definida como una función-área
para construir su significado. Relacionar los conceptos de derivada e integral en la
formulación del teorema Fundamental del Cálculo.
Sección 1. Situaciones que se representan mediante áreas.
Mediante el trabajo que realices en ésta sección, pretendemos que logres los
siguientesaprendizajes:
• Asociar el área bajo una curva con la solución a una situación dada.
• Calcular el área bajo la gráfica de funciones constantes y lineales, auxiliándose
de la figura geométrica respectiva.
• Obtener la función-área, que proporciona el área bajo la gráfica de una función
constante o lineal en intervalos de la forma [0, x], [a, x], [a, b].
• Relaciona la antiderivada de una funcióncon la función−área asociada.
Ejemplo 1. Luis le preguntó a su amigo Juan: ¿Si manejé a una velocidad
constante de 80 kilómetros por hora durante 3 horas, qué distancia recorrí? Juan
le contestó que 240 kilómetros. Claro, dijo Luis, pero quiero que lo resuelvas
utilizando una gráfica.
Juan trazó un dibujó como el que sigue y basándose en él le explicó a Luis la
solución.
v
100
80
60
4020
t
0
1
2
3
a) ¿Qué representa el segmento de recta horizontal que aparece en la gráfica?
b) ¿Cómo quedará representado en la gráfica el resultado correspondiente a la
distancia recorrida?
c) Determina la representación gráfica y la distancia recorrida, si Manuel manejó
durante: (i) 4 horas; (ii) 5 horas; (iii) 6 horas; (iv) x horas.
d) ¿Qué distancia recorrió de la segunda a latercera hora y cuál es su
representación gráfica?
e) Encuentra una representación gráfica y la distancia recorrida del tiempo t = a,
al tiempo t = b.
f) Establece la función, s(t), que relaciona la distancia recorrida s y el tiempo
transcurrido t.
Solución.
a) Representa a la gráfica de la función v(t) en el intervalo [0, 3].
b) Cómo el área comprendida por la gráfica de v(t), el eje x y elintervalo [0, 3].
c) A continuación se representan gráficamente las soluciones:

41

(i) 4 horas
v
80

(ii) 5 horas
v
80

(iii) 6 horas

(iv) x horas.
v
80

v
80

t
t
0
4
0
0
5
d) Recorrió 80 kilómetros. Su representación gráfica es:
v
80

6

t

t

0

x

t
0 1 2 34
e) La distancia recorrida del tiempo t = a, al tiempo t = b es: 80b – 80a. Surepresentación gráfica es:
v
80

a

f) s(t) = 80t.

t

b
5

Ejemplo 2. Determina el resultado de la integral ∫ 3dx .
0

a) Escribe la función f(x) que se está integrando.
b) Determina el área encerrada por la grafica de la función y el eje x en el
intervalo [0,5]?
Solución.
a) f(x) = 3.
b) El área es igual a 15 u2 y su representación gráfica es:
y
f(x) = 3

0

5

x

aEjemplo 3. Encuentra ∫ cdx , así como su representación gráfica.
0

y

a

f(x) = c

Solución. ∫ cdx = ac u 2 . Su representación gráfica es:
0

0

42

a

x

En muchas ocasiones se omite u2 (unidades cuadradas), porque se sobreentiende
que si calculamos áreas tendremos ese tipo de unidades.
b

Ejemplo 4. Determina ∫ cdx . Traza su representación gráfica.
a

b

Solución. ∫cdx = (b − a )c . Su representación gráfica es.
a
y
f(x) = c
0a

x

b

3

Ejemplo 5. Determina

∫ 4 xdx . También encuéntrala como el área bajo la gráfica
0

del la función que se está integrando y el eje x, en el intervalo [0,3].
3

Solución.

∫ 4 xdx = (2(3)

2

0

– 2(0)2) = 18. Gráficamente:
y
f(x) = 4x
12
A=3(12)/2 =18
x
3

Ejemplo 6. Comprueba gráficamenteque:
a
a
b
a2
a 2c
b2
a2
b2 a2
−c
= c( − )
a) ∫ xdx =
b) ∫ cxdx =
c) ∫ cxdx = c
2
2
2
2
2
2
0
0
a
Solución.
(a)
(b)
(c)
f(x) = cx
f(x) = cx
y
y
y
f(x) = x
ac
ac
a
x

x

x

a

a

a

b

De los incisos anteriores, podemos observar dos propiedades de las integrales:
a

0

0

b

a

∫ cxdx = c ∫ xdx =

y

b

a

a

0

0

∫ f ( x...