Como calcular el volumen de un toro

Instituto tecnológico de chihuahua II

VOLUMEN DE UN TORO

← La función y = √ (r2+ x2) describe el comportamiento de un semicírculo cuyo dominio es (-r, r) y rango (0, r), en este casocalcularemos el volumen generado al hacer girar dicha región en torno a x=4 en donde el radio será 1

← La siguiente grafica muestra el comportamiento de la función.

Reemplazando r con 1resulta: y=√ (1+ x2)

← Para calcular el volumen usaremos el método de sectores circulares ó de rebanadas; primero empecemos por determinar una función para los radios con la siguiente relación:para 0 ≤ x ≤ 1

← Si y=0 ; r = 3

← Si y=.25 ; r = 3.03

← Si y=.5 ; r = 3.13

← Si y=√.75 ; r = 3.5

← Si y=.9 ; r = 3.56

← Si y=1 ; r = 4

← Con la relaciónanterior llegamos a la conclusión de que con forme “y” aumenta también lo hace su radio por lo que una ecuación adecuada para 0 ≤ x ≤ 1 será:

• rg1= (4-√ (1+ y2))

← Ahora haremos unarelación para -1≤x≤0:

• Si y=1 ; r = 4

• Si y=√.75; r = 4.5

• Si y=.5 ; r = 4.86

• Si y=.25; r = 4.96

• Si y=0 ; r =5

← Ahora vemos que con forme “y” disminuyeel radio aumenta por lo que rg1 no es apropiado para este intervalo; pero si lo es la siguiente ecuación:

← rg2= (4+√ (1+ y2))

← Lo ocurrido nos lleva a el calculo del volumen en dospartes; primero con el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 con radio

(4-√ (1+ y2)) y después con el intervalo -1 ≤ x ≤ 0 con radio (4+√ (1+ y2)).

← RELACION DE RADIOS

← Calculando con el intervalo-1≤x≤0 con radio (4+√ (1+ y2)):primero el volumen con radio variante; y después restamos el volumen con radio contante 4 y altura 1, al cual llamaremos V1.

← V1= ¶∫ (4+√ (1+ y2))2 dy← V1= ¶∫ (16+(8√ (1+ y2))+ 1 - y2) dy

← V1= ¶ (16y+8((y/2)√(1+ y2) +½ arcsen y)

+ y - y3/3)│01

← V1= ¶ (16 + 4arcsen 1 + 2/3) - 16¶

← V1= ¶(4arcsen 1 + 2/3) u3...