Como calcular el volumen de un dodecaedro

1. Calcular el volumen de un dodecaodro, sabiendo que el lado de uno de los pentagonas que forman las caras del dodecaedro mide 1 cm.
2. Aunque la descomposición de los números como producto de factores primos es única excepto el orden, los factores primos de la descomposición puede agruparse de formas distintas. Un caso curioso son los numeros que pueden expresarse como producto de númerosconsecutivos.
Está claro que existen infinitos números que pueden expresarse como producto de dos números consecutivos, al igual que existen infinitos números que pueden expresarse como producto de tres números consecutivos. No obstante no es directo saber cuantos números hay que pueden espresarse al mismo tiempo como producto de dos  y tres números consecutivos.
Encontrar todos los númerosenteros que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos.
1. Todos conocemos el 'Utlimo teorema de Fermat', resuelto por el matemático Adrew Wiles en 1995. No obstante no es tan conocida una variante que el mismo Fermat planteó a sus contemporáneos, enunciada del siguiente modo:
Las únicas soluciones enteras de la ecuación x 2+ 2 = y3 son (5,3) y (-5,3).Aceptar el desafio de Fermat y demostrar la propiedad de la ecuación enunciada.
2. La terna pitagórica más conocida es también la más pequeña que podemos encontrar con números naturales:
32+42=52
Podemos ver que además de ser una terna pitagórica, tiene la curiosidad de usar númeron consecutivos. Pero no es la única con esta propiedad. Aquí podemos ver otras dos:
102+112+122=132+142212+222+232+242=252+262+272
¿Encontrar todas las tuplas de cualquier longitud que satisfacen esta regla?
Existe un problema bastante común sobre la división del cuadrado en cuatro piezas iguales, que puede enunciarse del siguiente modo:
3. ¿De cuántos modos podemos dividir un cuadrado de modo que obtengamos cuatro figuras idénticas, donde entendemos por figuras idénticas aquellas que tienen mismaforma, tamaño, color, área, perímetro...?
Dos ejemplos distintos de diviones del cuadrado son los siguientes:

No es muy difícil averiguar que las posibilidades son infinitas, pero podemos ir más lejos y preguntarnos:
¿Cuáles son todos los modos posibles distintos de dividir un cuadrado en cuatro figuras idénticas?
Contextualización
Resultados parciales: 
Existe infinitas diviones distintas.Contextualización: 
* Ramas:
* Geometría,
* otras
* Definiciones.:
* Figuras,
* Divisiones,
* Cuadrado
Ejes y giros.
Nodo 15.
Una posible construcción que genera infinitas divisiones del cuadrado, y todas ellas distintas dos a dos (si se añaden algunas restricciones) consiste en deformar de modo continuo una semirrecta, y pegar cuatro copiasiguales como si se tratara de unos ejes, como muestra la siguiente figura:

Cada variación de las deformaciones nos proporciona una división distinta del cuadrado en cuatro figuras idénticas. Notar que las deformaciones no han de ser necesariamente suaves, sinó que podemos realizar las deformaciones para que aparezcan picos o incluso espirales y demás figuras geométricas.

Ahora podemos girar loejes para obtener nuevas particiones distintas. Por ejemplo la segunda figura que se muestra en el enunciado corresponde a un giro de 45 grados de los ejes de la primera.
Podemos resumir la construcción en los siguientes pasos:
1. Deformar una semirrecta.
2. Construir unos ejes con cuatro copias de la semirrecta deformada.
3. Rotar cada eje de la construcción anterior.
Algunosejemplos obtenidos mediante este método serían los siguientes:

 
Con esto hemos obtenido infinitas constricciones con infinitas divisiones distintas del cuadrado en cuatro figuras iguales, por tanto la pregunta correcta sería:
¿Cual es el cardinal correspondiente a las posibles divisiones del cuadrado en cuatro figuras iguales?
 Notar que no hemos hablado de las condiciones que tendríamos que...