Como resolver ecuaciones de sistema lineales.

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¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales?
Prof. Jean-Pierre Marcaillou

OBJETIVOS:
La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone del comando [solve] de los submenús desplegables Avanzado y
Ecuación/Desigualdad del menú Acción para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS:
Ecuación lineal: Una ecuación lineal de n incógnitas es una relación de laforma: a1x1 + a2 x 2 + a3 x3 + L + an xn = b1
donde a1 ,a2 ,a3 ,K ,an ,b1 representan números reales, y las letras x1 , x 2 , x3 ,K , xn representan las incógnitas o las
variables de la ecuación.
Solución de una ecuación lineal: Es un elemento s = ( s1, s2 , s3 ,K , sn ) ∈ Rn formado por un conjunto ordenado de
números tales que, sustituyendo en la ecuación x1 por s1, x2 por s2, x3 por s3, … , xnpor sn, se obtiene una
igualdad numérica verdadera.
s1

s2

s3

sn

↓
↓
↓
↓
}
}
}
}
a1 x1 + a2 x 2 + a3 x3 + L + an xn = b1

Conjunto de soluciones de una ecuación lineal: Es el conjunto formado por todas sus soluciones.
Sistema de ecuaciones lineales: Es un sistema formado por una o varias ecuaciones lineales que tienen las
mismas incógnitas. Se tiene la costumbre deenlazar las ecuaciones con una llave {, tal cual lo ilustra el siguiente
sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

a11x1 + a12 x 2 + a13 x3 + K + a1n xn = b1
(E1)

a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + K + a2n xn = b2 (E2 )

a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + K + a3n xn = b3 (E3 )

KKKKKKKKKKKKKKK ................
am1x1 + am2 x 2 + am3 x3 + K + amn xn = bm (Em )

Solución de un sistema deecuaciones lineales: Es una solución común a todas las ecuaciones que conforman el
sistema.
Conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: Es el conjunto formado por todas las soluciones
comunes a todas las ecuaciones que conforman el sistema; es la intersección de los conjuntos de soluciones de
todas estas ecuaciones.
Resolver sistema de ecuaciones lineales: Significa elaborar unproceso de búsqueda de los valores de las variables
que convierten todas las ecuaciones del sistema en igualdades numéricas verdaderas. El proceso de resolución de un
sistema de ecuaciones lineales consiste en transformarlo, por etapas sucesivas, en sistemas de ecuaciones lineales
equivalentes hasta llegar a un sistema tan sencillo, que cada ecuación se pueda resolver por simple inspección.Sistema compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible:
Un sistema de ecuaciones lineales se llama:
Compatible, si éste tiene al menos una solución;
Incompatible, en el caso contrario, es decir cuando éste no tiene ninguna solución;
Determinado, si éste tiene una solución única;
Indeterminado, si éste tiene más de una solución.
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En resumen, los sistemas de ecuacioneslineales se dividen en compatibles e incompatibles, los sistemas
compatibles se subdividen a su vez en determinados e indeterminados, tal como lo ilustra el siguiente cuadro:
DETERMINADOS
COMPATIBLES
SISTEMAS

INDETERMINADOS
INCOMPATIBLES

Ecuación consecuencia de otras: Si todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son soluciones de
otra ecuación, se dice que ésta esconsecuencia de las que forman el sistema.
Ecuación combinación lineal de otras: Se dice que la ecuación (Ek ) : ak1x1 + ak2 x2 + ak3 x3 + K + akn xn = bk , es
combinación lineal de las otras (E1), (E2), (E3),..., (Ek − 1), (Ek + 1),..., (Em) , si existen números reales

α1, α2 , α3 ,..., αk −1, αk +1,..., αm tales que:
α1(E1) + α 2 (E2) + α3 (E3) + ... + αk −1(Ek − 1) + αk +1(Ek + 1) + ... + αm (Em)= (Ek)
Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes: Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el
mismo conjunto de soluciones.
Construcción de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes: A partir de un sistema de ecuaciones lineales se
puede construir otro equivalente, sustituyendo una de las ecuaciones por una combinación lineal de las otras que
forman el sistema,...