Como se enseñaban las matematicas hace 200 años

Génesis histórica y enseñanza de las matemáticas
Juan Antonio García Cruz Universidad de La Laguna

Seminario de Historia de las Matemáticas Historia y práctica educativa
Facultad de Matemáticas (Universidad de Sevilla)
Noviembre-Diciembre de 2002

Génesis histórica y enseñanza de las matemáticas
Juan Antonio García Cruz Universidad de La Laguna

En el capítulo segundo de DidacticalFenomenology of Mathematical Structures, Freudenthal (1983) expone su método. Antes ha utilizado la longitud como medio paradigmático para ilustrar su fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. En el proceso de construcción del conocimiento matemático Freudenthal distingue entre phainomenon y nooumena. Phainomenon es el fenómeno que queremos comprender y estructurar, mientras quenooumena corresponde a las entidades de pensamiento con las que organizamos tal fenómeno. Nooumenon procede de noos o nous forma arcaica, cuyo significado es mente, inteligencia, pensamiento, memoria, razón, intelecto, incluso, alma, intención y deseo. De ahí el sustantivo to nooumenon, lo que solo es capaz de concebirse con la mente, la idea. Mientras que phainomenon procede de phainomai, verbo antiguoque significa aparecer, mostrarse, manifestarse, hacerse visible, de ahí to phainomeno, lo comprensible o inteligible solo a través de la experiencia. Para Freudenthal los objetos matemáticos son nooumena, y una parte de la matemática puede experimentarse como un phainomenon. Por ejemplo, los números son nooumena y trabajar con números puede ser un phainomenon. De esta forma los conceptos,estructuras e ideas matemáticas, es decir los nooumena, sirven para organizar los fenómenos, entendidos como experiencias personales, tanto del mundo real como de la misma matemática. Por otro lado, los fenómenos no son algo ajeno a nosotros, sino que son la parte esencial de cómo nosotros percibimos la realidad y vamos conformando nuestras experiencias del mundo y de la propia matemática. Lafenomenología de Freudenthal surge de la interrelación entre ambos conceptos. La relación entre los phainomena y los nooumena puede estudiarse de varias maneras. Sin embargo a nosotros, profesores de matemáticas, nos interesa principalmente la relación que surge del proceso de enseñanza y aprendizaje. La fenomenología de un concepto, estructura o idea matemática significa, en la terminología empleada porFreudenthal (Freudenthal, 1983, p. 28), describir el nooumenon en relación con el phainomena, del cuál es el medio de organización, indicando que fenómeno se crea para organizar y a cual puede ser ampliado, cómo actúa sobre tal fenómeno como medio de organización, y con qué poder nos arma a nosotros frente a tal fenómeno. Si en esa relación, lo que se enfatiza es el elemento didáctico, es decir, sepresta atención a como se adquiere tal relación en el proceso de enseñanza y aprendizaje, entonces se habla de la fenomenología didáctica de tal nooumenon. A partir de esta exposición Freudenthal elabora el principio didáctico que sustenta su concepción del proceso de enseñanza: se debe comenzar por los fenómenos que se quiere organizar y enseñar al estudiante a manejar los medios de organización.Para este enfoque, Freudenthal, conscientemente evita el término adquisición del concepto. Por el contrario habla de la constitución de objetos mentales (nooumenon) que precede en su teoría a la adquisición de conceptos. Frente a la adquisición de los conceptos por medio de la materialización concreta, Freudenthal antepone la constitución de objetos mentales basados en la fenomenología. Paraenseñar grupos, en vez de comenzar por el concepto de grupo y buscar alrededor un material concreto para tal concepto, uno debería en primer lugar buscar un fenómeno que empuje al estudiante 2

a constituir el objeto mental que luego será matematizado por el concepto de grupo. En la fenomenología de Freudenthal los nooumena son primariamente objetos mentales y sólo de forma secundaria son...