Como Se Invento El Carro

C APÍTULO

6
Reglas de derivación

1

OBJETIVOS PARTICULARES
1. Aplicar reglas básicas de derivación para calcular derivadas, de diverso orden, de funciones
algebraicas.
2. Aplicar la regla de la cadena en el cálculo de derivadas, para funciones explícitamente definidas.
3. Aplicar el método de derivación implícita en el cálculo de derivadas, para funciones definidas
implícitamente.6.1 Reglas básicas de derivación
Como se habrá notado en el capítulo anterior, para calcular la derivada de una función y D f .x/
mediante la definición, usando la denominada regla de los cuatro pasos, generalmente es necesario
llevar a cabo un laborioso procedimiento algebraico.
Para evitar tal complejidad, se opta por el uso o la aplicación de resultados o reglas básicas generales
que nospermiten el cálculo de la derivada de diversas funciones de uso frecuente.
Dichas reglas se demuestran a partir de la definición de la derivada a veces con el uso de algún
artificio algebraico.
A continuación enunciamos las reglas básicas de derivación, seguida cada una de su respectiva demostración.
Regla 1. Si f .x/ D c , con c constante, entonces
f 0 .x/ D
1

d
d
f .x/ D
c D 0:
dx
dxcanek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I
Ejemplos de la regla 1:
1. Si f .x/ D 5, entonces f 0 .x/ D 0.

2. Si f .x/ D 125, entonces f 0 .x/ D 0.

3. Si f .x/ D k , con k constante, entonces f 0 .x/ D 0.
H Demostración regla 1:
Si para cada x 2 R se tiene f .x/ D c , entonces
f .x C h/
h!0
h

f 0 .x/ D lím

f .x/

D lím

c

c

h
) f .x/D 0:
d
Es decir,
c D 0:
dx
h!0
0

0
D lím 0 D 0 )
h!0 h
h!0

D lím

Regla 2. Si f .x/ D x n , con n 2 N , entonces
f 0 .x/ D

dn
d
f .x/ D
x D nx n
dx
dx

1

:

Ejemplos de la regla 2:
1. Si f .x/ D x 5 , entonces f 0 .x/ D 5x 4 .

2. Si f .x/ D x 100 , entonces f 0 .x/ D 100x 99 .
H Demostración de la regla 2:
f .x/ D x n ) f .x C h/ D .x C h/n :
f .x/ D .x Ch/n x n D
n.n 1/ n 2 2
x h C : : : C hn
xn D
D x n C nx n 1 h C
2
n.n 1/ n 2 2 n.n 1/.n 2/ n 3 3
D nx n 1 h C
x hC
x h C : : : C hn D
2
2.3/
n.n 1/ n 2
n.n 1/.n 2/ n 3 2
D h nx n 1 C
x hC
x h C : : : C hn 1 :
2
2.3/

f .x C h/

f .x C h/
h
D nx n
2

1

f .x/
C

n.n

D
1/

2

xn 2 h C

n.n

1/.n
2.3/

2/

x n 3 h2 C : : : C hn

1

:

6.1 Reglasbásicas de derivación

3

f .x C h/ f .x/
D
h!0
h
n.n 1/.n
n.n 1/ n 2
x .0/ C
D nx n 1 C
2
2.3/
lím

2/

f 0 .x/ D nx n
dn
Es decir,
x D nx n
dx

x n 3 .0/2 C : : : C .0/n

1

:

:

1

1

:

Más adelante veremos que esta regla se puede generalizar para el caso en que n 2 Q .

Nota: un caso particular de la regla 2 aparece para n D 1:
d
d1
xD
x D 1x 1
dxdx
Es decir,

1

D x0 D 1 :

d
x D 1.
dx

Observación: en lo que sigue trabajaremos con funciones que suponemos derivables.
Regla 3. Si F .x/ D f .x/ C g.x/

.x/, entonces

d
d
F .x/ D
Œf .x/ C g.x/
.x// D
dx
dx
d
d
d
D
f .x/ C
g.x/
.x/ D f 0 .x/ C g 0 .x/
dx
dx
dx

F 0 .x/ D

0

.x/ :

Ejemplo de la regla 3:
.x 5 C x 100

x / 0 D .x 5 / 0 C .x 100 / 0.x/ 0 D 5x 4 C 100x 99

1:

H Demostración de la regla 3:
F .x/ D f .x/ C g.x/
F .x C h/

F .x C h/
h

.x/ ) F .x C h/ D f .x C h/ C g.x C h/

F .x/ D Œf .x C h/ C g.x C h/
.x C h/ Œf .x/ C g.x/
D Œf .x C h/ f .x/ C Œg.x C h/ g .x/ Œ .x C h/
F .x/

D

f .x C h/
h

f .x/

C

g.x C h/
h

F .x C h/ F .x/
D
h!0
h
f .x C h/ f .x/
g.x C h/
D lím
C lím
h!0h!0
h
h

g .x/

.x C h/
h

.x C h/ :
.x/ D
.x/ :
.x/

:

lím

g .x/

lím

h!0

.x C h/
h

.x/

:
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
0
F 0 .x/ D f 0 .x/ C g 0 .x/
.x/:
d
Es decir,
Œf .x/ C g.x/
.x/ D f 0 .x/ C g 0 .x/
dx

0

.x/ :

Esta regla se generaliza para el caso de tener la suma algebraica de más funciones.
Regla 4. Si .x/ D f .x/g.x/,...