como v.a.

Variables aleatorias

3-

Prof. María B. Pintarelli

VARIABLES ALEATORIAS

3.1- Generalidades
En muchas situaciones experimentales se quiere asignar un número real a cada uno de los elementos
del espacio muestral. Al describir el espacio muestral de un experimento un resultado individual no
tiene que ser necesariamente un número, por ejemplo, al tirar una moneda y tomar como espaciomuestral S = {c, s} , o al tirar un dado dos veces tomamos como espacio muestral a
S = { ,2,3,4,5,6}× { ,2,3,4,5,6} , aquí S es un conjunto de pares ordenados.
1
1
Definición: Sea ε un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a él. Una variable
aleatoria es una función que asigna a cada elemento de S un número real.
Notación: se anota a una variable aleatoria con letrasmayúsculas X, Y, Z, W,…
Entonces, si X es una variable aleatoria de S en R

X :S → R

tal que

X ( s) = x

Con diagramas de Venn

Desde ahora en lugar de escribir variable aleatoria, escribiremos v.a.
Ejemplos:
1- Se tira una moneda tres veces
Sea X la v.a. X: “número de caras obtenidas luego de los tres tiros”
Si tomamos como espacio muestral
S = {(c, c, c ); (c, c, s); (c, s, c); ( s, c,c); (c, s, s ); (s, s, c ); (s, c, s ); (s, s, s )}
entonces
X ((c, c, c)) = 3

X ((c, c, s)) = X (( s, c, c)) = X ((c, s, c)) = 2
X ((c, s, s )) = X (( s, c, s )) = X (( s, s, c)) = 1
X (( s, s, s)) = 0
La imagen de esta función es el conjunto {0,1,2,3}
Dada una v.a. X a su imagen se la anota R X y se la denomina rango o recorrido de X

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Variables aleatorias

Prof. María B.Pintarelli

En el ejemplo anterior R X = {0,1,2,3}
2- Se tira un dado tantas veces como sean necesarias hasta que sale el número 1 por primera
vez.
Podemos simbolizar el espacio muestral de la siguiente manera S = { , 01, 001, 0001, K} ,
1
por ejemplo 001 simboliza el resultado que en los dos primeros tiros no salió el número 1 y en el
tercer tiro salió el 1.
Sea Y la v.a.:
Y: “número detiros necesarios hasta que sale el 1 por primera vez”
Entonces RY = { ,2,3,4, K}, es decir el rango de Y es el conjunto de los números naturales.
1
3- En el interior de un círculo de radio r y centro el origen de coordenadas, se elige un punto al azar.
Tomamos como espacio muestral a S = ( x, y ), x 2 + y 2 ≤ r 2 . Aquí S es infinito no numerable
Definimos la v.a. Z: “distancia del punto elegidoal origen”
Entonces RZ = {z; 0 ≤ z ≤ r}

{

}

Las variables aleatorias se clasifican según su rango.
Sea X es una v.a. con rango R X . Si R X es un conjunto finito o infinito numerable entonces se dice
que X es una v.a. discreta. Si R X es un conjunto infinito no numerable entonces X es una v.a. continua.
El rango R X es considerado un nuevo espacio muestral, y sus subconjuntos soneventos.
Por ejemplo:
En el ejemplo 1, los eventos unitarios o elementales son {0}; { }; {2}; {3}, pero los anotamos
1
{X = 0}; {X = 1}; {X = 2}; {X = 3}
Otros eventos son, por ejemplo:
{X ≤ 1} , es decir, salió a lo sumo una cara.
Notar que podemos escribir {X ≤ 1} = {X = 0} ∪ {X = 1}, o sea escribimos al evento como unión de
eventos elementales
{X > 0}, es decir, salieron una o más caras.Tenemos que {X > 0} = R X − {X = 0}
En el ejemplo 2, {Y ≥ 4} sería el evento “al menos 4 tiros son necesarios para que salga por primera
vez el número 1”
{4 ≤ Y ≤ 6} sería el evento “se necesitan entre 4 y 6 tiros para que salga el 1 por primera vez”
Notar que {4 ≤ Y ≤ 6} = {Y = 4} ∪ {Y = 5} ∪ {Y = 6}
2 
1
En el ejemplo 3,  r < Z < r  sería el evento “el punto elegido se encuentra a unadistancia del
3 
3
1
2
centro mayor que r , pero menor que r
3
3
Volviendo al ejemplo 1, notar que B = {X = 0} ocurre en R X si y solo si el evento A = {(s, s, s )} ocurre en S. Se dice que A y B son eventos equivalentes.
De la misma forma los eventos
A = {(c, c, c )} y B = {X = 3} son equivalentes
A = {(c, c, s ); (c, s, c ); (s, c, c )} y B = {X = 2} son equivalentes
En general...