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´ REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA ´ MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE CIENCIAS EXPERIMENTALES ´ ESCUELA DE MATEMATICA

´ REDUCCION DE UNPOLINOMIO GENERAL AL ESPACIO(R3 ) POR M´ INIMOS CUADRADOS

Autora: Br. Lucy Gonz´lez a C.I.: 20.833.460 PROFESOR: Dr. Osvaldo Larreal

Maracaibo, 15 de Octubre de 2012

1 Consideremos lossiguientes datos en R3 : x 0 0 1 2 0 2 2 1 3 3 1 y 0 1 0 0 2 2 1 2 0 1 3 z 0 1 1 4 4 8 5 5 9 10 10

Queremos entonces que los datos anteriores satisfagan un polinomio de segundo grado(como una formacuadr´tica) como sigue: a

f (x, y) = a0 + a1 y + a2 y 2 + a3 x + a4 xy + a5 x2 ,

(1)

Luego si xi , yi , zi son lo respectivos datos de la tabla anterior para ∀i = 0, . . . , 10, entonces (1) tomala siguiente forma:

2 zi = a0 + a1 yi + a2 yi + a3 xi + a4 xi yi + a5 x2 ∀i = 0, . . . , 10, i

donde zi = f (xi , yi ), adem´s dicha ecuaci´n es equivalente a: a o         2 2  zi = 1 yiyi xi xi yi xi         a0   a1     a2   ∀i = 0, . . . , 10,  a3    a4    a5

(2)

2 as´ sustituyendo los 11 puntos de la tabla obtenemos: ı                                1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 4 1 2 4 0 0 0 1 2 4 2 4 4 1 1 1 2 4 4 1 2 4 1 2 1 1 0 0 3 0 9 1 1 1 3 3 9 1 3 9 1 3 1                                                        =                       0 1 1 4 4 8 5 5 9 10 10                 ,              

a0 a1 a2 a3 a4 a5

(3)

el sistema anterior puede escribirse de foma compacta como:

A ∗ a = z,
                donde A =                 1 0 0 0 0 0   1 1 1 0 0 0     1 0 0 1 0 1      1 0 0 2 0 4       1 2 4 0 0 0       1 2 4 2 4 4 , a =        1 1 1 2 4 4        1 2 4 1 2 1   1 0...