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COMBINATORIA

1) Introducción a la Combinatoria
A menudo se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales cálculos. Con frecuencia elsentido común ayuda a entender por qué se eligió un procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para encontrar las soluciones apropiadas.
2) Objetivos
Definir conceptos de permutación, variación y combinatoria.
Definir las combinatorias con repetición y sin repetición.
3) Contenido
Iniciaremos nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principiosaditivo y multiplicativo de conteo.
Principio aditivo de conteo
Sean A y B dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A o B es A + B
Principio multiplicativo de conteo
Si un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso puede ocurrir en b maneras,entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir ab.
A este principio también se le denomina principio fundamental de conteo.
Ejemplo
Se tienen 6 banderas de señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?
* Solución:
Si denotamos las banderas rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente,vemos que con una bandera a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:
R , V , A
Con dos banderas a la vez se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y después la otra) es decir
RR, RV. RA, VR, VV, VA, AR, AV, AA
Entonces, si se utilizan dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una odos banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:
A: Se hacen señales con una sola bandera
B: Se hacen señales con dos banderas.
Y que ambos no pueden ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se descarta la segunda alternativa y viceversa.
PERMUTACIONESPermutaciones sin repetición

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
El número de estas permutaciones será:

Permutaciones con repetición

Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a,de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.

El número de estas permutaciones será:


Teniendo en cuenta que
 
n!=n.(n-1).(n-2)…….3.2.1

Ejemplos
a) ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los dígitos1,2,3,4,5?

P5 =5! = 5.4.3.2.1 = 120
b) ¿ Cuantos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3?

P4 – P3 = 4! -3!= 24-6 = 18

Hemos restado P3 para descontar los números que empiezan por cero, ya que estos no son de cuatro cifras.

c) ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar si en ellos siempre hay 1 uno, 2 doses y 3 treses ¿

P61,2,3 =

Variaciones

Lasvariaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
El número de variaciones que se pueden construir se puede calcular mediante la...