Comparación de métodos analíticos y numéricos para la solución del lanzamiento vertical de una bola en el aire

Comparación de métodos analíticos y numéricos
para la solución del lanzamiento vertical de una
bola en el aire
Alejandro González y Hernández
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México
E-mail: agh@hp.fciencias.unam.mx
(Recibido el 4 de Febrero de 2008; aceptado el 29 de Abril de 2008)
Resumen
La ecuación de movimiento para el lanzamiento de una bola vertical en el airetiene una solución analítica que necesita
del cálculo diferencial e integral para su obtención. Sin embargo, los estudiantes del primer año de una licenciatura de
física tienen dificultades en aplicar el cálculo para la solución analítica de la ecuación de movimiento, por esto se
piensa en utilizar soluciones numéricas. Estas soluciones corresponden a ecuaciones algebraicas que se resuelven pormétodos numéricos comprensibles a los estudiantes, pero en general, no son incluidas en la mayoría de los libros de
texto y frecuentemente se piensa de ellas como inexactas, explicando la preferencia de los métodos analíticos sobre los
numéricos. Por este motivo, aquí se comparan la solución analítica con las numéricas para el tiro vertical en el aire,
con el fin de analizar las diferenciasentre ellas y establecer criterios que permitan discutir estas diferencias.
Palabras claves: Dinámica newtoniana, métodos analíticos, métodos numéricos, ecuación de movimiento, fuerza de
resistencia del aire.

Abstract
The equation of motion for a vertical launching of a ball in the air has analytic solution that needs of the differential
and integral calculus for their obtaining. However,the first year-old students of a physics major have difficulties in
applying the calculation for the analytic solution of the movement equation and for this reason it is thought of using
numerical solutions. These solutions correspond to algebraic equations that are solved for numerical methods
comprehensible to the students, but in general, they are not included in most of the text books andfrequently it is
thought of them as inexact, explaining the preference of the analytic methods on the numerical ones. For this reason,
the analytic solution is compared with the numerical ones for the vertical shot in the air, with the purpose of analyzing
the differences among them and to settle down approaches that allow the discussions of these differences.
Palabras clave: Newtonian dynamics,analytic methods, numerical methods, equation of motion, air resistance.
PACS: 01.50.H, 02.30.Hq, 02.60.-x, 02.60.Cb, 45.20.D-, 45.50.Dd

desarrollo de las habilidades de razonamiento científico y
experimental, las habilidades en la creación computación
[4], para la modelación, el análisis y la solución de
sistemas dinámicos.
La modelación [5] y la simulación [6] de sistemas
dinámicos [7]se han estado introduciendo en el currículo
de los cursos de física introductoria en los últimos años, lo
que hace imprescindible que el estudiante desarrolle
habilidades científicas para relacionar un conjunto de
objetos conceptuales útiles en el planteamiento y la
solución de los sistemas dinámicos, en especial, de la
Mecánica Newtoniana fundamentados por la segunda Ley
de Newton que esel primer ejemplo de ecuación de
movimiento que se introdujo en la Física.
La ecuación de movimiento de Newton es una
ecuación diferencial de segundo orden que se puede
resolver mediante métodos analíticos o métodos
numéricos. Los métodos analíticos frecuentemente utilizan
el cálculo diferencial e integral para resolver la ecuación

I. INTRODUCCIÓN
En numerosos estudios empíricos se hareportado que los
estudiantes tienen dificultades para entender la Dinámica
Newtoniana [1], y diferentes innovaciones se han
desarrollado y propuestos en Física Educativa para tratar
de mejorar la comprensión de los estudiantes de este tipo
de fenómenos de la Física [2]. La Física Computacional se
ha incorporado al estudio de la Física actual y se ha
colocado intermedia entre la enseñanza de...